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第1章 线性方程组 1

1.1线性方程组的基本概念 1

1.2阶梯方程组的回代法 3

1.3线性方程组的消元法 6

1.4应用实例 10

1.4.1营养配方问题 10

1.4.2交通流问题 11

1.4.3电路分析问题 12

1.4.4化学方程式的配平问题 13

1.4.5多项式插值问题 14

1.5历史事件 15

习题1 16

第2章 矩阵 19

2.1矩阵的概念 19

2.2矩阵的运算 22

2.2.1矩阵的线性运算 22

2.2.2矩阵的乘法 24

2.2.3矩阵的幂与多项式 28

2.2.4矩阵的转置 30

2.2.5矩阵的逆 31

2.3矩阵的分块 33

2.3.1分块矩阵的概念 34

2.3.2分块矩阵的运算 35

2.3.3线性方程组的矩阵表示 38

2.4矩阵的初等变换 40

2.4.1初等行变换和初等列变换 40

2.4.2等价矩阵 43

2.4.3初等矩阵 44

2.4.4求逆矩阵的初等变换法 46

2.4.5分块初等变换 48

2.5矩阵的秩 50

2.5.1矩阵秩的概念及简单性质 50

2.5.2线性方程组解的判别准则 51

2.5.3满秩矩阵 54

2.6应用实例 54

2.6.1图的邻接矩阵 54

2.6.2计算机死锁问题 55

2.6.3信息加密问题 56

2.6.4职工培训问题 57

2.7历史事件 58

习题2 59

第3章 行列式 64

3.1 n阶行列式的概念 64

3.1.1二阶行列式的定义 64

3.1.2三阶行列式的定义 65

3.1.3n阶行列式的定义 66

3.2行列式的性质 68

3.2.1行列式按行展开法则 68

3.2.2行列式初等行变换的性质 71

3.2.3行列式中行列地位的对称性 74

3.3行列式与矩阵的逆 75

3.3.1伴随矩阵与矩阵的逆 75

3.3.2行列式的乘积法则 77

3.3.3 Cramer法则 78

3.4行列式的计算 80

3.4.1降阶法 80

3.4.2三角化方法 81

3.4.3数学归纳法 82

3.4.4递推法 83

3.4.5分拆法 84

3.4.6升阶法 85

3.5行列式与矩阵的秩 86

3.5.1矩阵的子式与秩 86

3.5.2矩阵秩的性质 88

3.6应用实例 90

3.6.1二阶、三阶行列式的几何意义 90

3.6.2分式方程与平面方程 93

3.6.3 Fibonacci数 94

3.7历史事件 96

习题3 97

第4章 向量空间与线性空间 102

4.1向量组及其线性相关性 102

4.1.1 n维向量 102

4.1.2向量组的线性表示 103

4.1.3向量组的线性相关性 105

4.2向量组的秩 110

4.2.1等价向量组 110

4.2.2向量组的极大线性无关组与秩 112

4.3线性方程组解的结构 115

4.3.1齐次线性方程组解的结构 115

4.3.2非齐次线性方程组解的结构 118

4.4向量空间 121

4.4.1向量空间的概念 121

4.4.2向量空间的基与维数 122

4.4.3基变换与坐标变换 124

4.5 n维Euclid空间 126

4.5.1向量的内积 126

4.5.2正交向量组 127

4.5.3正交矩阵 130

4.6线性空间及其线性变换 131

4.6.1线性空间的概念 131

4.6.2线性子空间 133

4.6.3线性空间的基、维数与坐标 133

4.6.4线性变换 135

4.7应用实例 140

4.7.1阅读问题 140

4.7.2最小二乘法 140

4.7.3数列的通项 142

4.7.4 R2上线性变换的几何表示 143

4.8历史事件 147

习题4 149

第5章 矩阵的相似化简 157

5.1特征值与特征向量 157

5.1.1相似矩阵的概念和性质 157

5.1.2特征值与特征向量的概念 158

5.1.3特征值与特征向量的计算 160

5.1.4特征值与特征向量的性质 162

5.2矩阵的相似对角化 165

5.2.1相似对角化的条件和方法 166

5.2.2可对角化矩阵的多项式 170

5.3实对称矩阵的对角化 171

5.3.1实对称矩阵的特征值和特征向量 172

5.3.2实对称矩阵的相似对角化方法 173

5.4 Jordan标准形 176

5.4.1 Jordan矩阵 176

5.4.2 Jordan标准形的计算 177

5.4.3相似变换矩阵的计算 178

5.4.4 Cayley-Hamilton定理 181

5.5应用实例 182

5.5.1色盲遗传模型 182

5.5.2兔子与狐狸的生态模型 184

5.6历史事件 186

习题5 187

第6章 二次型 192

6.1二次型及其矩阵表示 192

6.2二次型的标准形 195

6.2.1正交变换法 195

6.2.2配方法 198

6.2.3合同初等变换法 200

6.3实二次型的规范形 201

6.4正定二次型 204

6.5应用实例 208

6.5.1齐次多项式的条件极值 208

6.5.2多元函数的极值 209

6.6历史事件 209

习题6 210

部分习题答案或提示 214

重要概念汉英对照 229