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第一章 矩阵及其运算 1

1.1矩阵的概念 1

一、m ×n矩阵 1

二、几种特殊的矩阵 2

三、同型矩阵与矩阵相等 3

习题1.1 3

1.2矩阵的代数运算 4

一、矩阵的加（减）法运算 4

二、矩阵的数乘运算 4

三、矩阵的乘法运算 5

四、方阵的幂与方阵多项式 8

习题1.2 9

1.3矩阵的转置与分块 10

一、矩阵的转置 10

二、矩阵的分块 12

三、分块矩阵的转置 16

习题1.3 16

1.4矩阵的初等变换 17

一、矩阵的初等变换 17

二、初等矩阵 17

三、初等变换与初等矩阵的关系 18

四、阶梯形矩阵与矩阵相抵标准形 20

习题1.4 23

1.5矩阵的求逆运算 23

一、可逆矩阵及其逆矩阵 23

二、可逆矩阵的性质 24

三、用初等变换求逆矩阵的方法 25

习题1.5 27

复习题一 27

第二章 行列式 30

2.1行列式的完全展开式 30

一、排列及其逆序数 31

二、对换 31

三、n阶行列式的完全展开式 32

四、三角行列式 33

习题2.1 34

2.2计算行列式的一般方法 35

一、行列式的性质 35

二、行列式按行（列）展开的公式 42

三、范德蒙行列式 44

习题2.2 45

2.3计算行列式的几种特殊方法 47

一、加边法 47

二、归纳法与递推法 48

三、利用已知行列式的结果 49

习题2.3 50

2.4行列式乘积定理 50

一、拉普拉斯（Laplace）定理 50

二、推论 51

三、行列式乘积定理 52

习题2.4 53

2.5非奇异矩阵 54

一、可逆矩阵与非奇异矩阵的等价性 54

二、可逆矩阵与初等矩阵乘积的等价性 55

三、用初等变换求逆矩阵的原理 56

习题2.5 56

复习题二 57

第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩 60

3.1 n维向量及其线性运算 60

一、n维向量的概念 60

二、向量的线性运算 61

习题3.1 62

3.2向量组的线性相关与线性无关 62

一、线性组合的概念 62

二、线性相关与线性无关 62

三、线性相关的性质 63

习题3.2 66

3.3向量组的秩 66

一、向量组等价 66

二、向量组的极大无关组 67

三、向量组的秩 67

习题3.3 69

3.4矩阵的秩 70

一、矩阵的行秩与列秩 70

二、矩阵秩的等价定义 70

三、矩阵秩的性质 72

四、定理1的应用举例 73

习题3.4 75

3.5 n维向量空间 75

一、向量空间的概念 75

二、向量空间的基 76

三、向量在基下的坐标 77

四、基变换与坐标变换 77

习题3.5 81

3.6 Rn的标准正交基与正交矩阵 82

一、向量内积与向量的模 82

二、向量正交 83

三、标准正交基与施密特（Schmidt）正交化方法 84

四、正交矩阵 87

习题3.6 88

复习题三 88

第四章 线性方程组 92

4.1线性方程组及其同解变换 92

一、m×n型线性方程组 92

二、线性方程组的同解变换 93

习题4.1 93

4.2克莱姆（Cramer）法则 94

一、克莱姆法则 94

二、克莱姆法则的理论意义 96

习题4.2 96

4.3齐次线性方程组 97

一、解的性质 97

二、基础解系 97

三、通解 99

习题4.3 101

4.4非齐次线性方程组 102

一、有解的判定定理 102

二、解的结构 103

三、通解 103

习题4.4 108

复习题四 108

第五章 矩阵的特征值与特征向量 111

5.1矩阵的特征值与特征向量 111

一、特征值与特征向量的概念 111

二、求特征值与特征向量 111

三、特征值与特征向量的性质 114

习题5.1 117

5.2相似矩阵与矩阵的相似对角化 118

一、矩阵相似 118

二、矩阵的相似对角化 119

三、矩阵可对角化的充分必要条件 120

习题5.2 121

5.3实对称矩阵的正交相似对角化 122

一、实对称矩阵的性质 122

二、实对称矩阵的正交相似对角化步骤 124

习题5.3 127

复习题五 127

第六章 二次型 130

6.1二次型及其矩阵表示 130

一、n元二次型 130

二、二次型矩阵与秩 131

习题6.1 132

6.2二次型的标准形与规范形 132

一、二次型的标准形与规范形 132

二、化二次型为标准形的方法 133

三、化二次型为规范形 135

四、唯一性问题 135

习题6.2 137

6.3正定二次型 137

一、正定二次型与正定矩阵 137

二、正定二次型与正定矩阵的判定 138

三、二次型的分类与应用 140

习题6.3 142

复习题六 142

习题参考答案与提示 144