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目录 1

前言 1

绪论 1

第一章 非线性科学研究动态 3

§1.1 非线性科学研究的主要内容 3

1.1.1 非线性映射的宏观特性 3

1.1.2 混沌与分形 4

1.1.3 动力系统的时间反演问题 6

1.1.4 自组织与耗散结构 8

1.1.5 随机非线性微分方程 8

1.1.6 湍流 9

1.1.7 神经网络系统 13

1.1.8 孤立子与拟序结构 17

1.1.9 复杂性研究 18

§1.3 国内外进展 19

§1.2 非线性科学研究的主要课题 19

第二章 非线性概念、特性及应用 23

§2.1 从线性到非线性 23

§2.2 世界在本质上是非线性的 24

2.2.1 非线性振动系统的非线性微分方程的常见类型 25

2.2.2 分岔序列和混沌行为的常微分方程 27

2.2.3 其他领域的非线性方程 28

2.3.1 什么是非线性科学 29

§2.3 非线性现象及概念 29

2.3.2 非线性概念 31

§2.4 非线性科学的动力学思想 35

§2.5 非线性现象的主要特性 42

§2.6 非线性理论应用举例 46

2.6.1 使哈勃空间望远镜相形见绌的新颖设计 46

2.6.2 发光二极管（LED）“灯泡”的研制 47

2.6.3 非线性力学 48

2.6.4 非线性振动 49

2.6.5 非线性化学振荡 50

2.6.6 单摆的非线性特性 53

2.6.7 通信网系统的非线性特征 55

2.6.8 非线性技术在高速列车轮上的应用 57

2.6.9 非线性规划 57

2.6.10 非线性技术在媒体传播中的应用 58

2.6.11 股市系统的非线性性质 59

§2.7 非线性中的哲学思想 65

2.7.1 从简单到复杂 65

2.7.2 从机械决定论到辩证决定论 66

2.7.3 从封闭、被动到开放、能动 68

小结 70

思考题 70

第三章 研究方法与数学工具 71

§3.1 研究方法 71

3.1.1 实验数学 71

3.1.3 重正化群方法 72

3.1.2 元胞自动机 72

3.1.4 散射反演方法 73

3.1.5 绝热消去法 73

§3.2 数学工具 74

3.2.1 对非线性科学有重要影响的现代数学 74

3.2.2 处理非线性问题的方法 76

思考题 89

第四章 分形理论与应用 90

§4.1 分形概念 94

§4.2 分形几何的研究工具与方法 95

§4.3 分形的描述 96

§4.4 分形的分类 99

4.4.1 规则分形 99

4.4.2 随机分形 105

§4.5 分形理论在工程技术中的应用 107

4.5.1 康托分形的应用 107

4.5.2 描述矿物资源分布的戴韦伊斯分形 110

4.5.3 金属粉粒和特殊金属晶体的分形特性 111

4.5.4 粉体的分形与流动 117

4.5.5 粉尘的爆炸及其预防 119

4.5.6 废水处理中的聚集体 121

4.5.7 材料断裂面的分形特征 123

4.5.8 分形结构的添加剂对复合材料强度的影响 125

4.5.9 利用分形极点，预测渗漏，算出倒塌 132

4.5.10 分形图像压缩技术 132

4.5.11 分形结构对化学反应的影响 133

4.5.12 分形建筑 135

4.5.13 分形艺术 136

4.5.14 多分形走势的股票市场 142

§4.6 分形物理机制的研究进展 148

4.6.1 研究现状 148

4.6.2 雪花形成的分形模型 148

4.6.3 分形物理机制的新观点 150

4.7.1 分形维数与数学的大统一理论 153

§4.7 分形中的哲学思想 153

4.7.2 分维结构的普遍性 155

4.7.3 分形维数观与世界物质统一性 158

小结 160

思考题 161

第五章 混沌理论与应用 162

§5.1 混沌理论的发展概况 163

§5.2 混沌的定义及其分类 165

5.2.1 非线性动力学混沌的定义 166

5.2.2 非线性动力学混沌的细致分类 174

§5.3 混沌现象的基本特性 175

5.3.1 确定性系统的内在随机性 175

5.3.2 对初始条件的敏感性 176

5.3.3 非平衡过程产生的混沌是一种“奇异吸引子” 182

5.3.4 混沌区具有分数维数 183

5.3.5 混沌区具有无穷嵌套的自相似结构 183

5.4.1 倍周期分岔进入混沌 184

§5.4 进入混沌的道路及其机制 184

5.4.2 阵发混沌 187

5.4.3 茹厄勒-塔肯斯（D．Ruelle-F．Takens）道路 188

5.4.4 准周期环面破裂 188

§5.5 混沌与分形的关系 190

§5.6 混沌理论在工程技术中的应用 194

5.6.1 混沌在非线性电路中的应用 197

5.6.2 混沌在通信上的应用 211

5.6.3 混沌神经元模型 213

5.6.4 计算机研究 215

5.6.5 混沌振动 217

5.6.6 混沌在化学中的应用 221

5.6.7 力学系统的混沌 225

5.6.8 混沌在地球科学中的应用 228

5.6.9 混沌投资 229

§5.7 混沌理论的科学意义 231

§5.8 混沌中的哲学 232

5.8.1 混沌学中的基本范畴 233

5.8.2 混沌的哲学意义 236

小结 237

思考题 237

第六章 孤立子理论与应用 238

§6.1 孤立子的发现 238

§6.2 描述孤立子的运动方程 240

6.2.1 KdV方程 240

6.2.2 薛定谔方程 244

6.2.3 正弦-Gordor方程 248

§6.3 KdV方程的守恒律 248

§6.4 散射反演方法 249

§6.5 孤立子理论的应用 251

小结 252

思考题 252

参考文献 253