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第1章 Birkhoff系统动力学 1

1.1 Birkhoff方程和Pfaff-Birkhoff原理 1

1.1.1 Birkhoff方程 1

1.1.2 Pfaff-Birkhoff原理 2

1.1.3 Birkhoff函数的构造 2

1.2完整力学系统的Birkhoff动力学 7

1.2.1特殊完整系统的Birkhoff动力学 7

1.2.2一般完整系统的Birkhoff动力学 8

1.3非完整力学系统的Birkhoff动力学 9

1.3.1特殊非完整系统的Birkhoff动力学 10

1.3.2一般非完整系统的Birkhoff动力学 10

1.3.3高阶非完整系统的Birkhoff动力学 14

1.4 Birkhoff系统的积分理论 14

1.4.1 Birkhoff方程的变换理论 14

1.4.2 Birkhoff系统的对称性与守恒量 15

1.4.3 Birkhoff系统的Poisson积分法 19

1.4.4积分Birkhoff方程的场方法 22

1.4.5积分Birkhoff方程的势积分方法 24

1.5 Birkhoff系统动力学逆问题 25

1.5.1 Birkhoff方程的建立问题 25

1.5.2 Birkhoff系统的对称性与动力学逆问题 26

1.5.3根据Pfaff-Birkhoff-d’Alembert原理组成运动方程 27

1.5.4广义Poisson方法与动力学逆问题 27

1.6 Birkhoff系统的运动稳定性 28

1.6.1 Birkhoff系统的平衡稳定性 28

1.6.2 Birkhoff系统的运动稳定性 29

参考文献 29

第2章 广义Pfaff-Birkhoff原理和广义Birkhoff方程 30

2.1 Pfaff-Birkhoff原理的推广 30

2.1.1 Hamilton原理的推广 30

2.1.2 Pfaff-Birkhoff原理的推广 30

2.2广义Birkhoff方程 31

2.2.1广义Pfaff-Birkhoff-d’Alembert原理 31

2.2.2广义Birkhoff方程 32

2.3广义Birkhoff系统的两类积分和降阶法 34

2.3.1类能量积分 34

2.3.2类循环积分 34

2.3.3利用类循环积分的降阶法 36

2.3.4利用类能量积分的降阶法 38

2.4广义Birkhoff系统的时间积分定理 42

2.4.1广义Birkhoff系统的时间积分等式 42

2.4.2导出类功率方程 42

2.4.3导出类维里定理 43

2.4.4导出积分变分原理和微分变分原理 44

2.5广义Birkhoff系统的随机响应 45

2.5.1系统的随机微分方程 45

2.5.2 It6方程和矩方程 46

2.6广义Birkhoff系统与约束Birkhoff系统 50

2.6.1约束Birkhoff系统 50

2.6.2广义Birkhoff系统与约束Birkhoff系统 51

参考文献 52

第3章 广义Birkhoff系统的积分方法Ⅰ 54

3.1广义Birkhoff系统的代数结构 54

3.1.1广义Birkhoff方程的逆变代数形式 54

3.1.2广义Birkhoff方程的代数结构 55

3.2 Poisson积分方法 55

3.2.1广义Poisson条件 55

3.2.2由已知积分生成新的积分 56

3.3 Poisson方法的应用 57

3.3.1广义Birkhoff系统的两类积分 57

3.3.2 Poisson方法应用举例 59

参考文献 64

第4章 广义Birkhoff系统的积分方法Ⅱ 65

4.1广义Birkhoff系统的Noether对称性与Noether守恒量 65

4.1.1 Pfaff作用量的变分 65

4.1.2对称变换，准对称变换和广义准对称变换 66

4.1.3广义Killing方程 67

4.1.4广义Birkhoff系统的Noether定理 68

4.2广义Birkhoff系统的Lie对称性与Hojman型守恒量 70

4.2.1广义Birkhoff系统的Lie对称性 70

4.2.2 Hojman定理的推广 71

4.3广义Birkhoff系统的形式不变性与新型守恒量 74

4.3.1广义Birkhoff系统的形式不变性 74

4.3.2形式不变性直接导致的新型守恒量 75

4.4广义Birkhoff系统的Noether对称性与Hojman型守恒量 78

4.4.1广义Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性 78

4.4.2 Noether对称性间接导致的Hojman型守恒量 78

4.5广义Birkhoff系统的Noether对称性与新型守恒量 81

4.5.1广义Birkhoff系统的Noether对称性与形式不变性 81

4.5.2 Noether对称性间接导致的新型守恒量 81

4.6广义Birkhoff系统的Lie对称性与Noether守恒量 83

4.6.1广义Birkhoff系统的Lie对称性与Noether对称性 83

4.6.2 Lie对称性间接导致的Noether守恒量 83

4.7广义Birkhoff系统的Lie对称性与新型守恒量 85

4.7.1广义Birkhoff系统的Lie对称性与形式不变性 85

4.7.2 Lie对称性间接导致的新型守恒量 85

4.8广义Birkhoff系统的形式不变性与Noether守恒量 87

4.8.1广义Birkhoff系统的形式不变性与Noether对称性 87

4.8.2形式不变性间接导致的Noether守恒量 87

4.9广义Birkhoff系统的形式不变性与Hojman型守恒量 89

4.9.1广义Birkhoff系统的形式不变性与Lie对称性 89

4.9.2形式不变性间接导致的Hojman型守恒量 89

参考文献 91

第5章 广义Birkhoff系统的积分方法Ⅲ 92

5.1广义Birkhoff系统的弱Noether对称性与Noether守恒量 92

5.1.1弱Noether对称性的定义和判据 92

5.1.2弱Noether对称性导致的Noether守恒量 94

5.2广义Birkhoff系统的弱Noether对称性与Hojman型守恒量 98

5.2.1弱Noether对称性与Lie对称性 98

5.2.2弱Noether对称性导致的Hojman型守恒量 99

5.3广义Birkhoff系统的弱Noether对称性与新型守恒量 100

5.3.1弱Noether对称性与形式不变性 100

5.3.2弱Noether对称性与新型守恒量 101

5.4广义Birkhoff系统的Birkhoff对称性 102

5.4.1系统Birkhoff对称性的定义和判据 102

5.4.2 Birkhoff对称性导致的守恒量 103

5.5广义Birkhoff系统的共形不变性 108

5.5.1系统的共形不变性与Lie对称性 108

5.5.2共形不变性导致的Hojman型守恒量 111

5.5.3共形不变性导致的Noether守恒量 113

5.6广义Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量 114

5.6.1广义Birkhoff系统的摄动 115

5.6.2广义Birkhoff系统的绝热不变量 115

5.7广义Birkhoff系统的积分不变量 117

5.7.1系统存在积分不变量的条件 117

5.7.2系统的线性积分不变量 118

5.7.3系统的通用积分不变量 119

5.7.4系统的二阶绝对积分不变量 119

5.7.5由积分生成积分不变量 120

5.8广义Birkhoff系统的无限小正则变换与积分 121

5.8.1系统的运动微分方程 122

5.8.2 Birkhoff系统的无限小正则变换与积分 122

5.8.3系统的无限小正则变换与积分 123

参考文献 125

第6章 广义Birkhoff系统的积分方法Ⅳ 127

6.1广义Birkhoff系统的场积分方法 127

6.1.1场积分方法 127

6.1.2广义Birkhoff方程的场积分方法 128

6.2广义Birkhoff系统的势积分方法 134

6.2.1势积分方法 134

6.2.2广义Birkhoff方程的势积分方法 134

6.3 Jacobi最终乘子法 136

6.3.1最终乘子 136

6.3.2广义Birkhoff系统的最终乘子 138

6.3.3最终乘子法的应用 139

参考文献 144

第7章 二阶自治广义Birkhoff系统的定性理论 145

7.1二阶自治广义Birkhoff系统的奇点类型 145

7.1.1系统的运动方程和奇点方程 145

7.1.2用线性近似系统判断系统的奇点 147

7.1.3用Birkhoff函数判断系统的奇点 149

7.1.4对称原理 150

7.1.5关于平衡稳定性 151

7.2二阶自治广义Birkhoff系统的稳定流形和不稳定流形 151

7.2.1双曲平衡点 151

7.2.2稳定流形和不稳定流形 152

7.2.3无穷远奇点和全局结构 153

7.3平衡点分岔 156

7.3.1极限点分岔 156

7.3.2跨临界分岔 157

7.3.3叉形分岔 157

参考文献 157

第8章 广义Birkhoff系统动力学逆问题 158

8.1根据系统的给定运动性质来建立广义Birkhoff方程 158

8.1.1逆问题的提法 158

8.1.2逆问题的解法 158

8.2运动方程的修改 162

8.2.1逆问题的提法 162

8.2.2逆问题的解法 162

8.3运动方程的封闭 166

8.3.1逆问题的提法 166

8.3.2逆问题的解法 166

8.4广义Birkhoff系统的对称性与动力学逆问题 167

8.4.1广义Birkhoff系统的Noether对称性 168

8.4.2 逆问题的第一种提法和解法 169

8.4.3逆问题的第二种提法和解法 172

8.4.4逆问题的第三种提法和解法 173

8.5根据微分变分原理组建运动方程 174

8.5.1微分变分原理 175

8.5.2逆问题的提法和解法 175

8.6广义Poisson方法与动力学逆问题 177

8.6.1广义Poisson条件 177

8.6.2逆问题的提法和解法 177

参考文献 179

第9章 广义Birkhoff系统的运动稳定性 181

9.1广义Birkhoff系统的平衡稳定性 181

9.1.1广义Birkhoff系统的平衡方程 181

9.1.2广义Birkhoff系统的受扰运动方程和一次近似方程 182

9.1.3平衡稳定性的一次近似方法 183

9.1.4平衡稳定性的直接法 185

9.2相对部分变量的平衡稳定性 190

9.2.1关于部分变量稳定性的基本定理 190

9.2.2对广义Birkhoff系统的应用 190

9.3平衡状态流形的稳定性 191

9.3.1基本定理 191

9.3.2对广义Birkhoff系统的应用 192

9.4广义Birkhoff系统的运动稳定性 193

9.4.1系统的受扰运动方程和一次近似方程 194

9.4.2运动稳定性的一次近似方法 194

9.4.3运动稳定性的直接法 195

9.5广义Birkhoff系统的全局稳定性 199

9.5.1自治系统的全局稳定性 199

9.5.2二阶自治广义Birkhoff系统的全局稳定性 200

9.6梯度表示与稳定性 202

9.6.1梯度系统 202

9.6.2广义Birkhoff系统的梯度表示 203

9.6.3稳定性问题 203

参考文献 205

索引 207