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第一章 自然数 1

1.1序言 1

1.2自然数的产生与扩展 3

1.2.1自然数的产生 4

1.2.2数零的产生 7

1.2.3有理数的产生 8

1.2.4无理数的产生 9

1.2.5复数的产生 12

1.2.6四元数和八元数的产生 13

1.3自然数的表示理论 17

1.3.1自然数的乘法分解表示 18

1.3.2自然数的加法分解表示 19

1.4整数的等价关系与做商集 21

1.4.1有理数的等价类表示 22

1.4.2抽象的等价类“商”系统 23

第二章 线性代数中的内表问题 26

2.1线性空间 27

2.1.1向量的线性表示（线性表出）和线性组合 28

2.1.2线性相关与线性无关 29

2.1.3基与维数 30

2.1.4线性方程组解的表示 31

2.2内积空间 33

2.2.1内积空间的定义 34

2.2.2向量的长度 34

2.2.3向量的夹角 35

2.2.4标准正交基 35

2.3矩阵 37

2.3.1 R m×n中元素基于秩的分解 37

2.3.2 R n×n中元素的对称与反对称和分解 39

2.3.3 R n×n中元素的乘积分解 41

2.3.4 C n×n中元素的奇异值分解 44

2.3.5 C n×n中矩阵的极分解 45

2.3.6方阵关于对称矩阵和对合矩阵的分解 47

第三章 高等代数中的内表和外延问题 49

3.1多项式的内表问题 49

3.1.1一元多项式算术基本定理 50

3.1.2多元多项式的分解定理 53

3.2线性空间基于线性变换的分解 54

3.2.1线性空间关于线性变换的谱分解 54

3.2.2基于线性变换的不变子空间分解 55

3.2.3基于正规算子的子空间分解 55

3.3线性变换基于线性空间的分解 57

3.3.1线性变换的投影分解定理 57

3.3.2线性变换的极分解定理 58

3.4线性空间的商空间 60

第四章 抽象代数中的内表和外延问题 63

4.1群 63

4.1.1群的内表问题 65

4.1.2群通过等价关系外延问题 76

4.1.3可解群的一个自然数简单类比 83

4.2环 85

4.2.1环及相关定义 85

4.2.2整环的内表和外延问题 93

4.2.3整环的分式环 94

4.2.4环的模表示理论 95

第五章 高等数学中的内表问题 98

5.1基本初等函数表示一般初等函数的问题 98

5.2积分计算中的特殊元近似表示一般元素的问题 101

5.2.1定积分的黎曼和近似表示 101

5.2.2二重积分的黎曼和近似表示 102

5.2.3曲线与曲面积分的黎曼和近似表示 102

5.3函数的幂级数表示 103

5.4周期函数的傅立叶级数表示 105

5.5由简单函数的包络表示 107

第六章 微分方程中的内表问题 108

6.1齐次线性微分方程组通解的表示 108

6.2常系数线性微分方程组解的表示 110

第七章 泛函分析中的内表和外延问题 113

7.1泛函空间的内部表示 114

7.2赋范空间（代数）的商空间 115

第八章 概率论中的内表和外延问题 117

8.1概率论中的内表问题 117

8.2正态分布的内表问题 119

第九章 拓扑空间中的内表和外延问题 122

9.1拓扑空间的内表问题 123

9.2拓扑空间的外延问题 124

第十章 金融数学与金融工程中的内表问题 127

10.1股票价格过程表现的内表问题 128

10.1.1离散形模型 128

10.1.2连续性模型 129

10.2 Black-Sholes期权定价公式表现的内表问题 130

参考文献 132

后记 134