第一篇 矩阵演算和线性代数的基本原理 1
第1章 矩阵和线性方程 1
1.数值矩阵及其运算 1
1.基本概念及定义 1
2.矩阵的性质 3
2.行列式及其性质 5
1.反序及排列 5
2.n阶行列式 6
3.行列式的性质 7
4.子式和代数余子式 10
5.某些行列式的计算 13
6.矩阵的秩 逆矩阵及其性质 15
3.关于函数矩阵的概念 19
1.函数矩阵 微分方程的向量写法 19
2.自动调节系统微分方程的向量写法的例子 23
3.λ矩阵的性质 27
4.分块矩阵 32
4.线性方程组 34
1.基本概念和定义 34
2.高斯法 34
3.具有n个未知数的n个线性方程的方程组 39
4.克莱姆法则 40
第2章 线性空间与线性变换 43
5.线性空间 43
1.线性空间的定义及主要性质 43
2.线性独立向量 线性空间的维数 44
3.线性空间的基底 45
4.子空间及其性质 线性流形 50
6.线性空间的线性变换 50
1.线性变换的定义及基本性质 50
2.线性变换的特征向量和特征值 57
3.把方阵化为对角线形式 60
4.约当标准型 66
第3章 欧氏空间及二次型 73
7.欧氏空间与酉空间 73
1.酉空间的定义及性质 73
2.向量的长度，向量的正交性 74
3.矩阵的范数 指数矩阵 77
4.柯西-布尼亚柯夫斯基不等式 79
5.对称变换和正交变换 80
8.二次型 83
1.二次型的定义及基本性质 83
2.二次型的标准形式 85
3.正定的二次型 87
4.拉格朗日法 88
第二篇 微分方程与自动调节系统的稳定性 91
第4章 微分方程的理论基础 91
9.关于微分方程的一般知识 91
1.微分方程 解的几何解释 91
2.正规微分方程组 92
10.存在性和唯一性定理 94
1.齐次方程解的存在性和唯一性定理 94
2.正规方程组的解的存在性和唯一性定理 99
3.欧拉折线及e近似解 100
4.解与初始条件和参数的连续相依性定理 103
11.线性微分方程 105
1.正规的线性微分方程组 105
2.线性齐次方程组的通解 105
3.朗斯基行列式 刘维尔公式 107
4.线性非齐次方程组 任意常数的变易法 110
5.柯西公式 111
6.n阶线性方程 114
7.线性齐次微分方程组的降阶 118
12.常系数线性微分方程 120
1.正规的常系数线性齐次方程组 120
2.齐次方程组的基本矩阵 124
3.正规的常系数线性非齐次方程组 126
4.n阶常系数线性方程 132
5.常系数线性微分方程组 135
13.解非线性微分方程的某些方法 140
1.逐次逼近法 140
2.欧拉折线法 142
3.利用幂级数解方程 143
4.降阶法 144
5.相平面法 145
6.谐波线性化方法 145
14.自治的微分方程组的相轨迹 146
1.自治的微分方程组的相空间 146
2.二阶自治的微分方程组的相轨迹 149
第5章 自动调节系统的微分方程 160
15.自动调节系统的微分方程的列写方法 160
1.综述 160
2.系统元件的微分方程的列写及线性化 160
3.自动调节系统的元件的算子 传递函数 172
4.环节的分类 173
5.自动调节系统的微分方程的列写 175
16.自动调节系统中的过程 179
1.自动调节系统的微分方程 179
2.线性系统中的过程 181
3.方程右边含有间断函数的导数的线性微分方程 187
4.脉冲过渡函数 190
5.非线性系统中过程的特点 194
第6章 自动调节系统的稳定性 199
17.运动稳定性的概念 199
1.按李雅普诺夫意义的稳定性 199
2.平凡解的稳定性 200
18.线性系统的稳定性 201
1.齐次方程组的稳定性 201
2.非齐次方程组的稳定性 202
3.常系数线性方程组的稳定性 203
4.霍尔维茨准则 204
19.李雅普诺夫的第二方法 208
1.定号函数和常号函数 209
2.关于稳定性的李雅普诺夫定理 210
3.关于渐近稳定性的李雅普诺夫定理 211
4.关于不稳定性的李雅普诺夫定理 212
20.根据一次近似方程研究稳定性 212
1.一次近似方程 212
2.按一次近似决定稳定性的李雅普诺夫定理 213
21.利用李雅普诺夫第二方法研究非线性自动调节系统的稳定性 216
1.非线性系统的方程 平衡状态 216
2.把运动方程化为标准形式 219
3.平衡状态稳定性的充分条件 219
第三篇 复变函数理论基础 226
第7章 复变函数 226
22.复数及其运算 226
1.复数 复数的几何解释 226
2.复数的模和幅角 226
3.加法、减法、乘法和除法 227
4.乘方和求根 228
23.关于复变函数的概念 230
1.复数序列 无穷远点 230
2.平面上的点的集合 231
3.复变函数 231
24.复变函数的微分 234
1.复变函数的导数 234
2.柯西-黎曼条件 235
3.调和函数 237
4.导数的幅角和模的几何意义 238
25.初等复变函数 239
1.线性函数和线性分式函数 239
2.指数函数和对数函数 244
3.幂函数 246
4.三角函数 248
第8章 复变函数的积分法 249
26.复变函数的积分 249
1.关于复变函数积分的概念 249
2.柯西积分定理 250
27.柯西公式 254
1.柯西公式 均值定理 254
2.与参数有关的积分 255
3.高阶导数 256
4.摩勒尔定理 257
第9章 函数级数 258
28.数值级数和函数级数 258
1.数值复级数 258
2.函数级数 259
3.维尔斯特拉斯定理 260
29.幂级数 260
1.柯西-柯达马定理 260
2.阿贝耳定理 261
3.泰勒级数 262
30.罗朗级数 264
31.奇异点 266
1.奇异点的分类 266
2.在奇异点的邻域内展成罗朗级数 267
第10章 留数理论 272
32.留数定理 272
1.留数的概念 确定关于极点的留数的一般公式 272
2.留数定理 273
3.应用留数计算非正常积分 274
33.幅角增量原理 284
1.对数留数 284
2.幅角增量原理 285
3.儒歇定理 286
参考文献 287
索引 288