第1章 求极限的方法与技巧 1
§1—1 函数的极限 1
一、初等变换法 1
二、无穷小替换法 2
三、罗必达(L’Hospita1)法则 4
四、利用泰勒(Taylor)公式 6
五、利用导数的定义 7
§1—2 数列的极限 8
一、利用海涅(Heine)定理 8
二、利用单调有界准则 9
三、利用两边夹准则 10
四、利用定积分的定义 11
五、利用积分中值定理 12
一、讨论极限的存在性 13
§1—3 几类典型问题 13
二、无穷小的阶的比较 15
三、极限的局部逆问题 16
第2章 函数及其连续性 20
§2—1 函数的概念与基本性质 20
一、求函数的定义域 20
二、函数符号的运用 20
三、函数的基本特性 21
§2—2 讨论函数的连续性 23
§2—3 确定函数的间断点及其类型 25
§2—4 闭区间上连续函数性质的应用 26
第3章 一元函数微分学 31
§3—1 导数与微分的计算方法 31
一、利用导数的定义求导数 31
二、利用导数的运算法则求导数 35
四、高阶导数的计算 36
三、对数求导法 36
五、微分的计算方法 38
§3—2 微分中值定理及其应用 40
§3—3 导数的应用 43
一、求曲线的切线与法线方程 44
二、讨论函数的单调性、求函数的极值 45
三、判定曲线的凹凸性、求曲线的拐点 47
四、描绘函数的图形 48
五、求曲线的曲率、曲率半径、曲率中心 48
六、确定函数的最大值与最小值 49
第4章 一元函数积分学 53
§4—1 不定积分法 53
一、直接积分法 53
二、凑微分法 53
三、换元积分法 54
四、分部积分法 57
五、部分分式法 59
§4—2 定积分的计算与典型问题的求解 61
一、计算定积分的基本方法 62
二、计算分段函数的定积分 62
三、计算定积分的若干技巧 64
四、定积分中的几类典型问题 65
§4—3 广义积分的计算方法 67
第5章 两类典型问题的论证方法 72
§5—1 不等式 72
一、利用微分法证明不等式 72
二、利用积分法证明不等式 75
三、利用幂级数证明不等式 79
一、确定函数的零点(方程的根) 81
§5—2 介值存在性问题的论证方法 81
三、双介值问题 83
二、几何问题 83
四、区间变换问题 84
五、含有介值的不等式 85
§5—3 构造辅助函数的三种方法 86
一、参数变易法 87
二、不定积分法 88
三、微分方程法 90
第6章 向量代数与空间解析几何 94
§6—1 向量代数 94
一、向量的基本运算 94
二、证明恒等式或简化算式 95
三、利用向量方法求解几何问题 96
一、基本方法 98
§6—2 空间直线与平面 98
二、待定参数法 99
三、平面束法 100
四、向量投影法 101
五、辅助平面法 102
§6—3 曲面与方程 102
一、典型二次曲面 102
二、一般旋转曲面 103
第7章 多元函数微分学 106
§7—1 二元函数的极限 106
一、讨论二重极限的存在性 106
二、求二重极限的方法 107
§7—2 多元函数微分法 108
一、讨论二元函数的连续性、可导性与可微性的关系 108
二、求复合函数的偏导数的方法 109
三、求隐函数的偏导数的方法 111
四、求高阶偏导数的方法 113
五、求方向导数的方法 115
§7—3 多元函数微分法的应用 116
一、求曲面的切平面方程与法线方程 116
二、求空间曲线的切线方程与法平面方程 117
三、求二元函数极值的方法 119
四、求二元函数在有界闭区域上的最大值最小值的方法 120
五、多元函数条件极值的应用 120
第8章 重积分的计算方法 124
§8—1 二重积分的基本计算方法 124
一、利用直角坐标计算二重积分 124
二、利用极坐标计算二重积分 125
一、利用直角坐标计算三重积分 126
§8—2 三重积分的基本计算方法 126
二、利用柱面坐标计算三重积分 127
三、利用球面坐标计算三重积分 127
§8—3 计算重积分的几种典型技巧 128
一、利用“先二后一法”计算三重积分 129
二、利用重积分的对称性简化计算 130
三、重积分的积分区域的剖分 133
§8—4 逐次积分的计算方法 135
一、主观型交换积分次序 135
二、客观型交换积分次序 137
三、应用型交换积分次序 138
§8—5 重积分的一般换元法 139
一、二重积分的一般换元法 140
二、三重积分的一般换元法 140
一、第一类曲线积分的基本计算方法 144
第9章 曲线积分与曲面积分 144
§9—1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 144
二、第一类曲面积分的基本计算方法 145
三、曲线积分与曲面积分的对称性 146
§9—2 第二类曲线积分 147
一、利用基本公式化为定积分计算 148
二、利用格林(Green)公式计算 149
三、利用恰当条件法计算 150
四、选择适当路径法计算 150
五、曲线积分中的不等式 152
§9—3 第二类曲面积分 153
一、基本计算方法 153
二、类型转换法 155
三、投影转换法 155
四、利用高斯(Gauss)公式计算 157
§9—4 空间曲线上的第二类曲线积分的计算 158
一、基本计算方法 158
二、利用斯托克斯(Stokes)公式 160
三、利用积分曲线投影法 161
§9—5 梯度、散度与旋度 162
一、梯度(gradient) 162
二、散度(divergence) 162
三、旋度(rotation) 162
第10章 无穷级数 166
§10—1 常数项级数的审敛法 166
一、利用级数的基本性质判定级数的敛散性 167
二、正项级数的审敛法 168
三、一般数项级数的审敛法 170
§10—2 幂级数 175
一、求幂级数的收敛域 176
二、求幂级数的和函数 178
三、求函数的幂级数展开式 180
§10—3 傅立叶(Fourier)级数 181
一、傅立叶级数的收敛定理及其应用 182
二、将周期为2l的函数展成傅立叶级数的方法 182
三、将函数在[-l，l]上展成傅立叶级数的方法 183
四、将函数在[0，l]上展成正弦级数或余弦级数的方法 184
§10—4 求常数项级数之和 184
一、利用级数收敛的定义求常数项级数的和 184
二、利用幂级数求常数项级数的和 185
三、利用傅立叶级数求常数项级数的和 186
第11章 微分方程 190
§11—1 一阶微分方程的解法 190
一、可分离变量方程的解法 190
二、齐次方程的解法 191
三、一阶线性微分方程的解法 192
四、全微分方程的解法 193
§11—2 高阶微分方程的解法 197
一、几种可降阶的高阶微分方程的解法 197
二、高阶线性微分方程解的结构及其应用 198
三、高阶常系数线性齐次微分方程的解法 199
四、高阶常系数线性非齐次微分方程的解法 200
五、欧拉(Euler)方程的解法 202
六、线性微分方程组的解法 202
§11—3 微分方程的应用 203
一、利用微分方程求解函数方程 203
二、利用微分方程求解几何问题 205
三、利用微分方程求解物理问题 205
一、微分法在近似计算中的应用 209
第12章 微积分学中的应用问题 209
§12—1 近似计算 209
二、幂级数在近似计算中的应用 210
三、泰勒公式在近似计算中的应用 211
§12—2 积分学在物理中的应用 212
一、求物体的质量与重心 212
二、求变力所做的功 213
三、求转动惯量 214
四、利用元素法求引力 215
§12—3 积分学在几何中的应用 216
一、求平面图形的面积 216
二、求空间区域的体积 219
第13章 高等数学综合解题策略 228
一、适时利用初等变换技巧 228
二、注重借助几何直观性 231
三、充分挖掘隐含条件 234
四、灵活运用反证法 236
五、善于捕捉辅助信息 238
第14章 行列式与矩阵运算 241
§14—1 行列式的计算 241
一、基本概念与重要结论 241
二、利用降阶法计算行列式 242
三、利用化三角法计算行列式 243
四、计算行列式的其它方法 245
§14—2 矩阵运算 246
一、基本概念与重要结论 246
二、矩阵的运算 250
三、分块矩阵的运算 257
四、矩阵的秩 259
一、基本概念与重要结论 265
第15章 n维向量空间与线性方程组 265
§15—1 向量组的线性相关性 265
二、向量的运算 267
三、判定向量组线性相关性的方法 267
四、极大无关组与向量组的秩 271
§15—2 n维向量空间 273
一、基本概念与重要结论 273
二、求向量在基下的坐标的方法 275
三、过渡矩阵与坐标变换 275
四、正交向量组与正交矩阵 276
§15—3 线性方程组 278
一、基本概念与重要结论 278
二、利用克莱姆法则求解线性方程组 281
三、利用初等行变换求解线性方程组 282
四、将一个向量用一向量组线性表示的方法 284
五、线性方程组的若干应用问题 286
第16章 相似矩阵与二次型 292
§16—1 矩阵的特征值和特征向量 292
一、基本概念与重要结论 292
二、矩阵的特征值和特征向量 293
三、矩阵的相似对角化 297
§16—2 二次型 301
一、基本概念与重要结论 301
二、二次型及其矩阵表示 303
三、二次型的标准形 304
四、正定二次型与正定矩阵 308
第17章 选择题集萃 313
习题答案与提示 332