第2部分 第1部分的概率对应 1
第Ⅰ章 概率的基本概念 1
1.可测空间上的适应函数族 1
2.循序可测性 2
3.随机变量 5
4.条件期望 5
5.条件期望的连续性定理 8
6.条件期望的Fatou引理 12
7.条件期望的控制收敛定理 12
8.随机过程，“不足道”，“无区别”，“标准修正”，“几乎” 13
9.集的命中与循序可测性 16
10.正则过程和有限维分布 18
11.基本概率空间的选取 21
12.右连续过程对集的命中 22
13.与随机过程循序可测性相对的可测性 24
14.可料函数族 28
第Ⅱ章 可选时及有关概念 31
1.可选时的由来 31
2.可选时的性质(连续参数情形) 33
3.在可选时上的过程函数 36
4.命中时间与进入时间 38
5.应用于样本函数的连续性 40
6.上节的续 42
7.可料可选时 43
8.截口定理 44
9.可料时的图与可料集的进入时间 46
10.R？×Ω的半极子集 48
11.随机过程的类D与类L？ 48
12.可选时的分解；可及的与绝不可及的可选时 50
第Ⅲ章 鞅论初步 53
1.定义 53
2.例 54
3.初等性质(任意全序参数集情形) 57
4.鞅论中的参数集 58
5.上鞅族的收敛 59
6.可选样本定理(有界停时情形) 60
7.右闭过程的可选样本定理 62
8.可选停止 63
9.极大不等式 64
10.条件极大不等式 66
11.下鞅上确界的一个L？不等式 66
12.下穿 68
13.L′有界情形的向前收敛 73
14.一致可积鞅的收敛 74
15.可右闭上鞅的向前收敛 77
16.鞅的向后收敛 77
17.上鞅的向后收敛 78
18.τ算子 79
19.上鞅的自然序分解定理 81
20.算子LM与GM 82
21.上鞅位势与Riesz分解 83
22.离散参数概率论中的位势论约化 84
23.应用于下穿不等式 85
第Ⅳ章 连续参数上鞅的基本性质 88
1.连续性 88
2.一致可积连续参数鞅的可选样本 93
3.连续参数上鞅的可选样本与收敛性 96
4.上鞅的递增序列 98
5.位势理论基本收敛定理的概率版本 102
6.拟有界正上鞅，由增过程生成的上鞅位势 106
7.可料增过程的自然性(I=Z+或R+) 110
8.增过程生成的上鞅位势，离散参数情形 116
9.可料增过程的一个不等式 117
10.增过程生成的上鞅位势，任意参数集情形 118
11.连续参数情形由增过程生成的上鞅位势：Meyer分解 121
12.下鞅的Meyer分解 124
13.与上鞅相连系的测度的作用，上鞅的控制原理 125
14.连续参数场合的算子τ，LM与GM 129
15.R？×Ω上的位势理论 131
16.R？×Ω上的细拓扑 132
17.连续参数概率论中的位势理论约化 134
18.约化性质 136
19.上节约化性质的证明 140
20.约化的计算 146
21.上鞅位势的能 148
22.上鞅间断性的排除 149
23.上鞅的分解与间断 151
第Ⅴ章 随机过程的格与相关的类 154
1.惯例，本性序 154
2.下鞅{x(·)，？(·)}的LMx(·) 155
3.一致可积正下鞅 157
4.Lp有界随机过程(p≥1) 158
5.格(′S±，≤)，(′S+，≤)，(S±，≤)，(S+，≤) 160
6.向量格(′S，≤)与(S,≤) 162
7.向量格(′Sm，≤)与(Sm,≤) 164
8.向量格(′Sp，≤)与(Sp,≤) 165
9.向量格(′Sqb，≤)与(Sqb,≤) 166
10.向量格(′Ss，≤)与(Ss,≤) 168
11.正交分解′Sm=′Smqb+′Sm1与Sm=Smqb+Sm2 169
12.局部鞅与(S，≤)中的奇异上鞅位势 170
13.拟鞅(连续参数情形) 171
第Ⅵ章 Markov过程 176
1.Markov性 176
2.过滤的选取 181
3.有平稳转移概率的整参数Markov过程 182
4.鞅论在离散参数Markov过程中的应用 185
5.具有平稳转移概率的连续参数Markov过程 188
6.右连续过程的特性 190
7.连续参数Markov过程：寿命与灭绝点 193
8.Markov过程过滤的右连续性，一个0-1律 195
9.强Markov性 196
10.概率位势理论，过分函数 200
11.过分函数与上鞅 204
12.过分函数与解析集的命中时间 205
13.条件Markov过程 206
14.约束Markov过程 208
15.中断Markov过程 209
第Ⅶ章 Brown运动 211
1.以RN为状态空间的独立增量过程 211
2.Brown运动 213
3.Brown轨道的连续性 218
4.Brown运动过滤 221
5.Brown转移密度和Brown运动的基本性质 224
6.Brown运动的0-1律 227
7.约束Brown运动 230
8.André反射原理 232
9.开集中的Brown运动(N≥1) 234
10.开集中的时空Brown运动 238
11.区间中的Brown运动 240
12.关于区间的抛物型测度的概率计算 242
13.热方程及其对偶的概率意义 243
第Ⅷ章 It？积分 245
1.记号 245
2.г0的大小 247
3.It？积分的性质 248
4.对г0中被积过程的随机积分 251
5.对г中的被积过程的随机积分 252
6.第3节中性质的证明 254
7.推广到向量值和复值被积过程 259
8.关于Brown运动过滤的鞅 260
9.变量替换 264
10.Brown运动增量的作用 267
11.用Riemann-Stieltjes和计算It？积分(N=1) 269
12.It？公式 271
13.势论基本函数与Brown运动的复合 275
14.解析函数与Brown运动的复合 276
第Ⅸ章 Brown运动和鞅论 278
1.初等鞅应用 278
2.共抛物型多项式和鞅论 282
3.？N上的上调和与调和函数，上鞅与鞅 284
4.命中一个Fσ集 287
5.Brown运动对集合的命中 289
6.上调和函数，Brown运动的过分函数 291
7.上调和函数与Brown运动复合的初步处理，一个概率Fatou边界极限定理 295
8.Brown运动的过分函数和不变函数 300
9.应用于命中概率和转移密度的抛物性 302
10.Brown运动命中非极集(N=2) 303
11.Brown运动复合函数的连续性 304
12.Brown运动与上调和函数复合的连续性 306
13.经典Dirichlet问题的概率初解 307
14.约化的概率计算 309
15.细拓扑的概率描述 312
16.Brown运动的α过分函数及其与Brown运动的复合 316
17.作为Green函数的Brown运动转移函数；对应的向后和向前抛物型方程 319
18.Brown运动的过分测度 321
19.Brown运动的几乎Borel集 324
20.从非规则边界点出发的Brown运动命中一个集 325
第Ⅹ章 条件Brown运动 327
1.定义 327
2.用Brown运动表示h-Brown运动 331
3.(2.1)的由来 336
4.h-Brown运动在其生存时间的渐近特性 339
5.从h的无穷大点出发的h-Brown运动 342
6.时间逆转下的Brown运动 344
7.对于h调和函数Dirichlet问题的概率初解；h-Brown运动命中概率和对应的广义约化 348
8.严格正上调和函数比值的概率边界极限和内极限定理 352
9.球内的条件Brown运动 356
10.条件Brown运动的末遇分布；用末遇分布表示集的容度分布 359
11.条件Brown运动的尾σ代数 360
12.条件时空Brown运动 366
13.参数集为R的在［？N］RN中的［时空］Brown运动 367
第3部分 371
第Ⅰ章 经典位势理论与鞅论中的格 371
1.经典位势理论与鞅论之间的对应 371
2.在位势理论与鞅论中S的分解分量间的关系 372
3.类L？与类D 373
4.加在h调和函数及鞅上的PWB相关条件 373
5.相对于拟有界性的类D性质 375
6.拟有界性的一个条件 376
7.S？中元素的奇异性 377
8.S？中元素的奇异分量 378
9.类Spqb 379
10.类Sps 382
11.与h-Brown运动相联系的h上调和函数之分量的格论分析 383
12.S？的一种分解(位势理论情形) 385
13.第11节的续 386
第Ⅱ章 Browm运动与PWB方法 388
1.问题的由来 388
2.PWB方法的概率分析 389
3.PWBh的例 393
4.PWBh情形的尾σ代数 395
第Ⅲ章 Martin空间上的Brown运动 397
1.Martin空间上Brown运动的构造 397
2.从Martin边界点出发的Brown运动 398
3.极小Martin边界点处的0-1律与极小细拓扑的概率刻划(记号同第1节) 401
4.Martin空间上的概率Fatou定理 403
5.定理1.X1.4(c)及其在边界上对应结果的概率方法 404
6.抛物型情形调和函数的Martin表示 407
2.Suslin变换 411
1.集的铺与代数 411
附录Ⅰ 解析集 411
3.乘积铺上的解析集 412
4.解析扩张与铺的σ代数扩张 413
5.？(？)的投影特性 413
6.运算？(？) 414
7.乘积铺中集的投影 415
8.可测性概念到解析运算情形的推广 415
9.完备度量空间的Gσ集 416
10.Polish空间 417
11.Baire零空间 417
12.解析集 418
13.Polish空间的解析子集 420
附录Ⅱ 容度理论 421
1.Choquet容度 421
2.Sierpinski引理 421
4.Lusin定理 422
3.Choquet容度定理 422
5.Choquet容度的一个基本例子 423
6.强次可加集函数 424
7.由正强次可加集函数产生Choquet容度 425
8.拓扑准容度 427
9.普遍可测集 428
3.锥 430
2.格的定义 430
1.引言 430
附录Ⅲ 格论 430
4.由锥产生的特殊序 431
5.向量格 432
6.向量格的分解性质 434
7.向量格中的正交性 435
8.向量格中的带 435
9.在带上的投影 436
11.单元素生成的带 437
10.集的正交补 437
12.序收敛 438
13.在线性序集上的序收敛 439
附录Ⅳ 测度论中的格论概念 441
1.集代数的格 441
2.可测空间和可测函数 442
3.复合函数 443
4.可测空间的测度格 444
5.可测空间的σ有穷测度格(记号同第4节) 446
6.Hahn和Jordan分解 447
7.向量格？ 448
8.绝对连续性和奇异性 449
9.测度空间上可测函数的格 450
10.可测函数族的序收敛 451
11.Polish空间上的测度 454
12.测度的导数 455
附录Ⅴ 一致可积性 457
附录Ⅵ 核和转移函数 459
1.核 459
2.核的普遍可测扩张 460
3.转移函数 461
附录Ⅶ 积分极限定理 464
1.一个基本极限定理 464
2.比值积分极限定理 465
3.一个一维比值积分极限定理 466
4.涉及凸变差导数的比值积分极限定理 467
附录Ⅷ 下半连续函数 471
1.函数的下半连续平滑 471
2.下半连续函数族的上确界 471
3.ChoquetR拓扑引理 472
历史注记 473
参考文献 501
内容索引 511