第一章 广义函数的定义和例子 1
1.1 从δ函数谈起 1
1.2 试验函数空间 3
1.2.1 ？-具紧支集的C∞函数空间 4
1.2.2 ？m-m次连续可微的具紧支集的函数空间 5
1.2.3 空间？s和？ 6
1.2.4 空间Cm和C∞ 6
1.2.5 急降函数空间？ 6
1.2.6 各种试验函数空间的关系 7
1.2.7 稠密性定理 12
1.3 广义函数的定义 12
1.3.1 施瓦兹广义函数空间？′，支集 13
1.3.2 单位分解 14
1.3.3 广义函数的支集的特征性质 15
1.3.4 用支集表征的零广义函数的特性 16
1.3.5 广义函数的局部性 16
1.3.6 紧支集广义函数空间(C∞)′ 16
1.3.8 阶≤m的紧支集的广义函数空间(Cm)′ 17
1.3.7 阶≤m的广义函数空间(？m)′ 17
1.3.9 缓增广义函数空间？′ 18
1.3.10 只需考虑实值试验函数 18
1.3.11 广义函数的实部和虚部 18
1.4 广义函数的例子 18
1.4.1 普通函数作为广义函数 18
1.4.2 δ函数 19
1.4.3 拉冬测度空间(？o)′ 19
1.4.4 广义函数x-1 20
1.4.5 通过取阿达玛有限部分定义的广义函数x？ 21
1.4.6 广义函数x？，|x|λ，|x|λsgnx 24
1.4.7 R1上的函数不是广义函数的例子 25
1.4.8 由奇异积分定义的广义函数 26
1.4.9 不连续的线性泛函 28
第二章 广义函数的极限和导数 29
2.1 广义函数的极限 29
2.1.1 各种广义函数空间的完备性 29
2.1.2 缓增和紧支集广义函数都是有限阶的 37
2.2 广义函数的极限的例子 39
2.2.1 在紧集上一致收敛的连续函数序列 39
2.2.2 局部可积函数的受控收敛 40
2.2.3 广义函数ln(x+i0)和ln(x-i0) 42
2.2.4 δ-序列 44
2.3 广义函数的导数 49
2.3.1 若T∈(？)′，则？∈(？)′ 50
2.3.2 若T∈(Cm)′，则？∈(Cm+1)′ 50
2.3.3 若T∈？′，则？∈？′ 50
2.3.4 收敛的广义函数级数可以逐项求导数 51
2.4.1 海维赛函数的导数是δ函数 52
2.4.2 δ函数的导数 52
2.4 广义函数的导数的例子 52
2.4.3 lnx+的导数是x？ 53
2.4.4 ln|x|的导数是x-1 53
2.4.5 ln(x+i0)的导数 53
2.4.6 x？的导数是λx？，当λ≠负整数 53
2.4.7 x？的导数(x？)=-nx？+？δ(n)(x) 54
2.4.8 x-n的导数(x-n)′=-nx-n-1 55
2.4.9 广义函数(x+i0)λ和(x-i0)λ及其导数 55
2.4.10 n≥3时，△r2-n=？δ 56
2.4.11 n=2时，△lnr=2πδ 62
3.1 广义函数的直积 66
第三章 直积、卷积和原函数 66
3.2 广义函数的原函数 72
3.3 广义函数的卷积 76
3.3.1 勒贝格可积函数的卷积 76
3.3.2 任意广义函数与紧支集广义函数的卷积的定义与可交换性 77
3.3.3 卷积的连续性 79
3.3.4 广义函数与C∞函数的卷积 80
3.3.5 广义函数用C∞函数逼近 84
3.3.6 卷积的导数 84
3.3.7 卷积的结合律 85
3.3.8 卷积的支集 86
3.3.9 卷积的奇异支集 86
3.4 柯西-黎曼方程的广义函数解 88
第四章 缓增广义函数的傅里叶变换 92
4.1 空间？的傅里叶变换 92
4.2 空间？′的傅里叶变换 97
4.3 紧支集广义函数的傅里叶变换 100
4.4.3 卷积的傅里叶变换 103
4.4.2 Φ的乘子与Φ-广义函数的乘积 103
4.4.1 试验函数空间的乘子 103
4.4 乘积和卷积的傅里叶变换 103
4.5 对常系数微分方程的应用 105
4.5.1 拉普拉斯方程的缓增广义函数解 105
4.5.2 拉普拉斯算子的缓增广义特征函数 109
4.5.3 常系数微分方程的基本解 109
第五章 带参数的广义函数 111
5.1 带参数的广义函数的一般理论 111
5.2.1 x？和x？/Γ(λ+1)，λ∈？，x∈R1 117
5.2 带参数的广义函数的例子 117
5.2.2 x？和x？/Γ(λ+1)，λ∈？，x∈R1 120
5.2.3 |x|λ，|x|λ/Γ(？)，|x|λsgnx和|x|λsgnx/Γ(？) 120
5.2.4 x？lnkx+和x？lnkx_，λ∈？，k非负整数，x∈R1 121
5.2.5 |x|λlnk|x|和|x|λlnk|x|sgnx,λ∈？，k非负整数，x∈R1 122
5.2.6 rλ，λ∈？，r=？ 123
5.2.7 rλlnkr，λ∈？，k=1，2， 131
5.3 多重拉普拉斯方程的基本解 132
第六章 单变量广义函数的解析表示 135
6.1 解析表示的定义和紧支集广义函数的柯西表示 135
6.2 解析表示的存在性 137
6.3 解析表示的特征性质 141
6.4 解析微分算子对解析表示的作用 150
6.5 解析表示的例子和反例 154
6.5.1 反例 154
6.5.2 δ函数和它的导数的柯西表示 155
6.5.3 广义函数δ+和δ_ 155
6.5.4 广义函数(x+i0)λlnk(X+i0)和(x-i0)λlnk(x-i0) 156
6.5.5 (x±i0)λ对λ和对x的导数 157
6.5.7 λ≠整数时，x？和x？的解析表示 158
6.5.6 ln(x+i0)和ln(x-i0)的导数 158
6.5.8 n是整数时，x？和x？的解析表示 159
6.5.9 海维赛函数的解析表示 161
6.5.10 x？lnkx+和x？lnkx-的解析表示，λ≠整数 162
6.5.11 x？lnkx+和x？1lnkx_的解析表示，n是整数 162
6.5.12 lnx+和lnx_的解析表示 167
6.5.13 ln2x+和ln2x_的解析表示 167
6.5.14 λ≠整数时，|x|λ和|x|λsgnx的解析表示 168
6.5.15 |x|n和|x|nsgnx的解析表示 168
6.5.17 xn和(x+i0)n，(x-i0)n的关系 169
6.5.16 xn的解析表示 169
6.5.18 xn的导数 170
6.5.19 x-n和δ+，δ-的关系 170
6.5.20 有理函数作为广义函数及其解析表示 171
6.6 解析表示在实轴附近的性状 172
6.7 局部解析表示 178
6.7.1 P？的局部解析表示系 179
6.7.2 亚纯函数作为广义函数及其局部解析表示系 181
7.1 拉普拉斯方程的广义解 183
第七章 广义函数的调和表示 183
7.2 广义极限与调和延拓 185
7.3 广义极限和解析延拓 195
7.4 单变量广义函数的调和表示和解析表示的关系 199
7.5 调和函数的泰勒级数 202
7.6 调和表示的存在性 207
7.6.1 紧支集广义函数的泊松表示 207
7.6.2 Rn上任意广义函数的调和表示 212
7.7 调和表示的特征性质 215
7.8.2 δ函数的导数的调和表示 223
7.8.1 广义函数的导数的调和表示 223
7.8 调和表示的例子 223
7.8.3 (x？+x？)-1/2的调和表示 224
7.8.4 (x？+x？+x？)-1/2的调和表示 224
7.8.5 整函数的调和表示 226
7.8.6 多项式的调和表示 230
7.8.7 调和函数和广义函数的直积的调和表示 231
7.9 广义函数的局部结构 231
第八章 广义函数在一点的阶 236
8.1 在开集上的阶 237
8.2 在一点的阶 239
8.3 单变量广义函数的阶的判定 241
8.4 单变量m阶广义函数的m阶点的集合 250
8.5 阶≤m的单变量广义函数的分解 256
8.6 比较单变量广义函数的阶的两种定义 264
第九章 广义函数的乘法 267
9.1 调和乘法作为乘子乘法的推广 269
9.2 单变量广义函数的调和乘积的例子 276
9.3 关于单变量广义函数的调和乘积的一个定理 281
参考文献 293