第零章 集合论与拓朴学 1
前半段：集合论 1
0.1 集合 1
0.2 集合之运算 3
0.3 卡氏乘积 4
0.4 函数 5
0.5 函数与集合之运算 8
0.6 等价关系 10
后半段：拓朴学 12
0.7 拓朴 12
0.8 赋矩空间 15
0.9 子空间 15
0.10 乘积拓朴 16
0.11 Hausdorff拓朴空间 18
0.12 连续性 18
0.13 连通性 20
0.14 紧致性 22
0.15 局部紧致性 25
0.16 可分离性 25
0.17 仿紧致性 25
第一章 流形 31
1.1 流形之定义 31
1.2 流行之实例 35
1.3 可微映射 52
1.4 子流形 59
1.5 可微曲线 64
1.6 切向量 68
1.7 座标向量场 72
1.8 映射之微分映射 80
第二章 张量代数 91
2.1 向量空间 91
2.2 线性无关之概念 94
2.3 取和的惯用法 99
2.4 子空间 102
2.5 线性映射 104
2.6 线性映射之空间 107
2.7 封偶空间 112
2.8 多重线性映射 114
2.9 自然配对 115
3.10 张量空间 116
3.11 张量代数 117
3.12 新的解释法 118
2.13 转换律 123
2.14 不变量 126
2.15 对称张量 128
2.16 对称代数 130
2.17 反对称的张量 133
2.18 外代数 136
2.19 行列式 142
2.20 双线性形 146
2.21 二次形 148
2.22 Hodge之对偶性 156
2.23 纠纽形 162
第三章 流形上的张量分析 181
3.1 向量场 181
3.2 张量场 184
3.3 黎曼测距 187
3.4 积分曲线 187
3.5 流线 193
3.6 李导数 199
3.7 李乘积 205
3.8 李乘积的几何解释 208
3.9 映射之作用 212
3.10 区界点的理论 218
3.11 一阶偏微分方程式 228
3.12 Frobenius定理 237
第三章 附录 241
3.A 张量束 241
3.B 可平行化的流形 244
3.C 可其号性 255
第四章 积分理论 257
4.1 导论 257
4.2 微分形式 258
4.3 外导数 259
4.4 内消积 264
4.5 Poincaré引理之逆 268
4.6 方体链 275
4.7 欧氏空间上的积分 287
4.8 微分形之积分 290
4.9 Stokes定理 298
4.10 微分系统 304
第五章 黎曼与半黎曼流形 317
5.1 导论 317
5.2 黎曼测距与半黎曼测距 319
5.3 长度、角度、距离与能量 320
5.4 欧氏空间 325
5.5 变分及长方形 327
5.6 平直空间 330
5.7 仿射连系 335
5.8 平行位移 341
5.9 张量场之顺变微分 347
5.10 曲率张量及扭率张量 350
5.11 一个半黎曼结构的连系 361
5.12 测地线 369
5.13 测地线的极小化性质 374
5.14 截面曲率 378
第六章 物理上的应用 387
6.1 导论 387
6.2 汉米顿流形 388
6.3 余切束上的标准汉米顿结构 393
6.4 半黎曼流形？的测地喷场 398
6.5 动相空间 400
6.6 状况空间 407
6.7 切触座标 408
6.8 切触流形 410
参考文献 415