第一章 复数与复变函数 1
1 复数及其代数运算 1
1. 复数的概念 1
2. 复数的代数运算 1
前言 1
引言 2
2 复数的几何表示 3
1. 复数的各种表示法 3
2. 关于模与辐角的定理 8
3. 方根 10
1. 区域的概念 11
3 区域 11
2. 单连域与多连域 13
4 复变函数 14
1. 复变函数的定义 14
2. 映射的概念 15
5 复变函数的极限和连续性 17
1. 函数的极限 17
2. 函数的连续性 19
第一章习题 20
1 解析函数的概念 23
1. 复变函数的导数 23
第二章 解析函数 23
2. 解析函数的概念 25
2 函数的解析的充要条件 27
3 解析函数与调和函数的关系 31
4 初等函数 35
1. 复数项级数的概念 35
2. 指数函数 38
3. 三角函数和双曲函数 39
4. 对数函数 42
5. 乘幂ab与幂函数 43
6. 反三角函数与反双曲函数 45
1. 用复变函数表示平面向量场 46
5 平面场的复势 46
2. 平面流速场的复势 47
3. 静电场的复势 52
第二章习题 55
第三章 复变函数的积分 58
1 复变函数积分的概念 58
1. 积分的定义 58
2. 积分存在的条件及其计算法 59
3. 性质 61
2 柯西-古萨基本定理 63
3 基本定理的推广--复合闭路定理 67
4 柯西积分公式 70
5 解析函数的高阶导数 72
第三章习题 75
第四章 级数 77
1 复变函数项级数 77
1. 幂级数 77
2. 收敛圆与收敛半径 78
3. 收敛半径的求法 79
2 泰勒级数 82
3 罗伦级数 86
第四章习题 93
1. 可去奇点 96
第五章 留数 96
1 孤立奇点 96
2. 极点 97
3. 本性奇点 97
4. 函数的零点与极点的关系 98
2 留数 100
1. 留数的定义及留数定理 100
2. 留数的计算规则 101
3 留数在定积分计算上的应用 104
1. 形如？R(cosθ,sinθ)dθ的积分 105
2. 形如？R(x)dx的积分 106
3. 形如？R(x)eaixdx(a>0)的积分 108
1. 对数留数 110
4 对数留数与辐角原理 110
2. 辐角原理 112
3. 路西定理 113
第五章习题 115
第六章 保角映射 117
1. 切线倾角的复数表示 117
2. 解析函数的导数的几何意义 118
2 分式线性映射 120
3. 保角映射的概念 120
3 唯一决定分式线性映射的条件 124
4 几个初等函数所构成的映射 130
1. 幂函数w=zn(n是不小于2的自然数) 130
2. 指数函数w=ez 134
3. 儒可夫斯基函数 137
4. 圆柱绕流问题 139
5 关于保角映射的几个一般性定理 141
6 许瓦尔兹-克力斯托夫映射 143
7 拉普拉斯方程的边值问题 153
第六章习题 158
附录 区域的变换表 164
习题答案 169
1 保角映射的概念 177