第一篇 单实变函数 1
第一章 实数系 1
引言 1
1. 不能使之有序的无限域 12
2. 按两种不同途径使之有序的域 12
3. 不完全的有序域 13
4. 非Archimedes有序域 14
5. 无法使之完全的有序域 15
6. 有理数在其中不稠密的有序域 15
7. 不是全序域的Cauchy完全有序域 15
8. 不能唯一析因的整环 16
9. 没有最大公因子的两个数 17
10. 不能唯一地化简成最低项的分数 17
11. 假如数系是不完全的，闭区间上的连续函数将失去某些熟知的性质 17
a. 函数在闭区间上连续，但是无界。(由于是有界区间，所以这个函数还是不一致连续的。) 17
b. 函数在闭区间上连续且有界，但不一致连续 18
c. 函数在闭区间上一致连续(因而有界)但没有最大值 18
d. 函数在闭区间上连续，但介值性质失效 18
e. 可微的非常值函数，它的导数在闭区间上恒等于零 18
f. Rolle定理(因而又有中值定理)失效的可微函数 18
g. 保有介值性的、单调的、一致连续的非常值函数，它的导数在区间上恒等于零 18
第二章 函数与极限 19
引言 19
1. 无处连续的函数，其绝对值却处处连续 21
2. 仅在一点连续的函数 21
3. 以一个任意的非紧集为定义域的连续的无界函数 22
4. 以一个任意的非紧集为定义域的无界但是局部有界的函数 22
5. 处处有限而又处处局部无界的函数 22
6. 以一个任意的非紧集为定义域的连续的有界函数，没有极值 23
7. 定义域为紧集的有界函数，没有相对极值 23
8. 无处半连续的有界函数 24
9. 没有最小正周期的非常值周期函数 24
10. 无理函数 24
11. 超越函数 25
12. 函数y=f(u),u∈？和u=(x),x∈？,其复合函数y=f(g(x))处处连续，并适合？f(u)=c,？g(x)=b,？f(g(x))≠c 25
13. 乘积不一致连续的两个一致连续的函数 26
14. 在区间上连续和一对一的函数，而其反函数不连续 26
15. 在每个无理点连续，而在每个有理点间断的函数 27
16. 间断点集合为稠密集的半连续函数 27
17. 函数有一个稠密的间断点集合，其中每个间断点都是可去的 27
18. 以任意可数集(还可以是稠密集)的点为间断点的单调函数 27
19. 函数的连续点集是稠密集，间断点集也是稠密集，间断点都不是可去的 28
20. 两个区间之间一个无处单调的一一对应 28
21. 无处单调的连续函数 29
22. 在任意给定的闭集上间断的函数 29
23. 在任意给定的Fσ集上间断的函数 30
24. 不能作为任何连续函数序列的极限的函数 31
25. 定义域为［0，1］的一个函数，在［0，1］的每个非退化的子区间上，其值域都是［0，1］ 32
26. 不连续的线性函数 33
27. 对于每个n∈？，满足下面两个条件的n(2n+1)个函数φij(xj),j=1,2,…，n;i=1,2,…，2n+1 34
(a) 所有的φij(xj)在［0，1］上连续 34
(b) 对于在？上连续的任何函数f(x1,x2,…，xn)，都有2n+1个在？上连续的函数？i=1,2,…，2n+1,使得f(x1,x2…，xn)=？ 34
第三章 微分法 35
引言 35
1. 不能成为导函数的函数 35
2. 具有间断导数的可微函数 35
3. 处处有导数(不必是有限的)的不连续函数 36
4. 在某点有极值的可微函数，其导数在该点不是简单地变换符号 36
5. 导数于某点取正值的可微函数，但在该点的任何邻域内都不是单调的 36
6. 一个函数，其导数为有限，但在一个闭区间上却无界 37
7. 一个函数，其导数存在并且有界，但是导数在一个闭区间上没有(绝对)极值 37
8. 处处连续而无处可微的函数 38
9. 中值定理失效的可微函数 39
10. 自变量为正数时函数值取正数，自变量为负数时函数值恒等于零的无穷可微函数 40
11. 在单位区间内取正值，而在单位区间之外恒等于零的无穷可微函数 40
12. 函数值在(+∞，0］上等于零；在［0，1］上严格单调；在［1，+∞)上等于1的无穷可微的“连接函数” 40
13. 无穷可微的单调函数而有？ 40
第四章 Riemann积分 42
引言 42
1. 定义在闭区间上的有界的然而不是Riemann可积的函数 42
2. 没有原函数的Riemann可积函数 42
3. 在任何区间上都没有原函数的Riemann可积函数 42
4. 函数在闭区间上有原函数，但仍不Riemann可积 43
5. 有着稠密的间断点集的Riemann可积函数 43
6. 函数f,且g(x)?f(t)dt处处可微，但在一个稠密集上，g(x)的导数异于f(x) 44
7. 两个不同的半连续函数之间的“距离”为零 44
8. 以任意零测度的Fσ集作为间断点集的Riemann可积函数 44
9. 一个Riemann可积函数的Riemann可积函数而不是Riemann可积的 45
10. Riemann可积函数的有界单调序列的极限，却不是Riemann可积的 45
11. Cauchy主值为有限的发散广义积分 45
12. 在［1，+∞)上收敛的广义积分，其被积函数是正值连续函数，在无穷远点并不趋向于零 46
13. 在［0，+∞)上收敛的广义积分，其被积函数在每个形如［a+∞)的区间上无界，此处a>0 46
14. 函数f和g,在［a,b］和［b,c］上f对于g都是Riemann-Stieltjes可积的，但在［a,c］上则否 46
第五章 序列 48
引言 48
1. 有界的发散序列 48
2. 以任意闭集作为极限点集的序列 48
3. 对每个正整数P，都有？的发散序列{an} 50
4. 对任意严格递增的正整数序列{φn}={φ(n)}，能使？的发散序列{an} 51
5. 两个序列{an}和{bn}，适合？ 51
6. 一列序列？，满足？ 52
7. 两个一致收敛的函数序列，它们的乘积序列不一致收敛 52
8. 发散的集合序列 52
9. 集合序列{An}收敛于空集合，但是它们的基数→+∞ 53
第六章 无穷级数 55
引言 55
1. 通项趋于零的发散级数 56
2. 收敛级数∑an,与发散级数∑bn,适合？，n=1,2,… 56
3. 收敛级数∑an,与发散级数∑bn,适合？，n=1，2，… 56
4. 任意给定的正项级数，或优于发散级数，或收敛级数优于它 56
5. 具有发散重排的收敛级数 56
6. 对于任一条件收敛级数∑an,和任一实数x,序列{sn},其中|sn|=1，n=1,2，…，能使∑snan=x 58
7. 满足标准交错级数定理的三个条件中任意两个的发散级数 58
8. 通项趋于零的一个发散级数，适当地引进括号后变成收敛于任意的和 59
9. 对于给定的以零为下极限的正数序列{bn},有一个正项发散级数∑an,其通项趋于零并适合？ 60
10. 对于给定的以零为下极限的正数序列{bn},有一个正项收敛级数∑an,适合？ 60
11. 对于一个下极限为零的正数序列{cn}，有一个正项收敛级数∑an和一个正项发散级数∑bn,能使an/bn=cn,n=1,2, 60
12. ？上的正值连续函数，使得？收敛而？发散 61
13. ？上的正值连续函数，使得？发散而？收敛 61
14. 比值判敛法失效的级数 61
15. 根值判敛法失效的级数 63
16. 比值判敛法失效但能用根值判敛法的级数 64
17. 两个收敛级数，它们的Cauchy乘积级数发散 64
18. 两个发散级数，它们的Cauchy乘积级数绝对收敛 65
19. 对于正项收敛级数的一个给定序列？，n=1,2,…，有一个不便与？中任何级数相比较的正项收敛级数？ 66
20. Toeplitz矩阵T，以及被T变换成收敛序列的发散序列 68
21. 对于给定的Toeplitz矩阵T=(Tij),a4=±1的序列{aj}经过T的变换式{bi}发散 69
22. 仅在一点收敛的幂级数 72
23. 一个函数，它的Maclaurin级数处处收敛，但仅在一点表示这个函数 72
24. 一个函数，它的Maclaurin级数仅在一点收敛 72
25. 不是Fourier级数的收敛三角级数 74
26. 函数f(x)无穷可微且有？f(x)=0,但它不是任何Lebesgue可积函数的Fourier变换式 76
27. 对任一可数集？［-π，π］，一个连续函数，它的Fourier级数在E的各点发散，而在［-π，π］\E的各点收敛 78
28. 在［-π，π］上的(Lebesgue)可积函数，其Fourier级数处处发散 78
29. 有理数序列？，对于每个在［0，1］上连续且f(0)=0的函数f,都存在一个严格递增的正整数序列{nv},n0=0,使得？在［0，1］上的收敛性是一致的 78
第七章 一致收敛 81
引言 81
1. 处处间断的函数的序列一致收敛于处处连续的函数 81
2. 无穷可微函数的序列一致收敛于零，其导函数序列却处处发散 81
3. 有界函数的非一致极限，它是无界函数 82
4. 连续函数的非一致极限，它是间断函数 82
5. Riemann可积函数的非一致极限，它却不是Riemann可积函数 84
6. 积分的极限不等于极限的积分的函数序列 84
7. 导数的极限不等于极限的导数的函数序列 85
8. 在每个闭的子区间上都是一致的，但在整个区间上不一致的收敛性 85
9. 在［0，+∞)上一致收敛于零的序列{fn},而使？ 86
10. 级数不一致收敛，而其通项却一致地趋于零 86
11. 一个不一致收敛的序列，有一个一致收敛的子序列 86
12. 满足Dini定理的四个条件中任何三个条件的非一致收敛的序列 87
第八章 实轴上的集与测度 88
引言 88
1. 完备的疏集 90
2. 测度为零的不可数集 91
3. 一个测度为零的集，其差集包含原点的一个邻域 92
4. 正测度的完备疏集 94
5. 无理数的完备疏集 95
6. 一个稠密开集，它的补集的测度不等于零 96
7. 第二范畴的集 96
8. 不是Fσ集的集 96
9. 不是Gσ集的集 97
10. 集A，对于它，不存在用A作为间断点集的函数 97
11. 不可测集 98
12. 对于每个可测集A，能使？的集D 100
13. 测度为零的集A，而每个实数都是集A的凝聚点 101
14. 实数的一个疏集A，以及从A到单位闭区间［0，1］上的一个连续映射 101
15. 一个连续单调函数，其导数几乎处处为零 103
16. 破坏了集的可测性和零测度的一个闭区间的拓扑映射 105
17. 可测的非Borel集 105
18. 两个并非相差一个常数的连续函数，却具有几乎处处相同的导数(在有限或无穷的意义上) 105
19. ［0，1］内测度等于1的第一范畴的集 106
20. ［0，1］内测度等于零的第二范畴的集 106
21. 非Fσ集的零测度集 107
22. 集的测度为零，而没有函数--Riemann可积或否--能以它作为间断点集 107
23. ［0，1］内两个完备疏集是同胚的，但只有一个为零测度 108
24. 两个不相交的非空疏实数集，任一集的每个点都是另一集的极限点 109
25. 属于不同范畴的两个同胚的实数集 109
26. 两个同胚的实数集，一个是稠密集，另一个是疏集 111
27. 定义于？上的一个几乎处处等于零的函数，它在每个非空开区间上的值域都是？ 111
28. ？上的一个函数，它的图形在平面内稠密 112
29. 一个函数f,处处适合？，但在每个非空开区间(a,b)上？ 112
30. 一个连续的严格单调函数，其导数几乎处处等于零 113
31. 有界半连续函数，它既不Riemann可积，也不与Riemann可积函数等价 113
32. 一个有界可测函数，它不与Riemann可积函数等价 113
33. 连续函数的有界单调极限，它既不Riemann可积，也不与Riemann可积函数等价 113
34. Riemann可积函数f和连续函数g都定义于［0，1］上，但复合函数f(g(x))在［0，1］上既不Riemann可积，也不与Riemann可积函数等价 114
35. 闭区间上的一个有界函数有原函数，但不Riemann可积 115
36. 一个函数，它的广义(Riemann)积分存在，但不Lebesgue可积 116
37. Lebesgue可测但不Borel可测的函数 117
38. 可测函数f(x)和连续函数g(x),而复合函数f(g(x))不可测 117
39. 连续单调函数g(x)和连续函数f(x)，适合？ 117
40. 按照不同意义收敛的函数序列 117
41. 测度空间(X，S)上的测度μ关于另一个测度ν绝对连续，但不存在函数f,使得对于所有的E∈S，成立？ 120
第二篇 多维的问题 123
第九章 二元函数 123
引言 123
1. 分别对于各个变量连续的间断函数 123
2. 一个二元函数在原点没有极限，但沿着任一直线逼近原点时又给出了极限值为零 124
3. 前例的改进 124
4. 处处都有一阶偏导数的间断(从而也不可微)二元函数 125
5. 以下三种极限？恰有两个存在并且相等的函数f 125
6. 三种极限？恰有一个存在的函数f 126
7. ？都存在但不相等的函数f 127
8. 函数f(x,y)有？f(x,y)=g(x)存在并于x一致，？f(x,y)=h(y)存在并于y一致，又有？(x)=?h(y),但是？f(x,y)不存在 127
9. 可微但不连续可微的二元函数 128
10. 二阶混合偏导数不相等的可微函数 128
11. 两个自变量x和y的连续可微函数f,在平面区域R内？恒等于零，但是f在R内并非与y无关 129
12. 不是齐性的，但是局部齐性的连续可微的二元函数 130
13. 在原点没有极值的可微二元函数，如限定于通过原点的任一直线上，则函数在原点有严格的相对极小值 131
14. 前例的改进 131
15. 一个函数f,对于它，？尽管每个积分都是正常积分 132
16. 一个函数f，对于它，？虽然每个积分都是正常积分 133
17. 二重级数？，虽然按行或按列都有收敛性，但是？ 133
18. 微分Pdx+Qdy，在平面区域R内是局部恰当的，但不是恰当的 134
19. 定义于单连通区域内的不具有向量势的螺线向量场 136
第十章 平面集 138
引言 138
1. 距离为零的两个不相交的闭集 140
2. 有界平面集而没有包含它的最小闭圆盘 140
3. 不是简单孤的“薄”连通集 141
4. 两个不相交的平面通路，包含于同一个正方形内且各自连接两个对顶点 141
5. 区间［0，1］到正方形［0，1］×［0，1］上的一个映射 143
6. 平面内的一个填满空间的弧 143
7. 几乎处处在一个可数集内的填满空间的弧 145
8. 几乎处处可微的填满空间的弧 145
9. ［0，1］到［0，1］上的一个连续映射，每个值取的次数不可数 145
10. 单位正方形内的一个简单弧，其平面测度可以任意接近1 146
11. 不是弧的连通紧集 149
12. 与自己的闭包的内部不同的平面区域 149
13. 有共同边界的三个不同的平面区域 149
14. 与自己的闭包的内部相等的非Jordan区域 151
15. 边界的测度为正数的有界平面区域 151
16. 长度无限的简单弧 151
17. 长度无限并且在每一点都有切线的简单弧 152
18. 每两个不同点之间的弧段长度无限的简单弧 152
19. 光滑曲线C上有一点P，就C上各点对于C的凹侧的任何一个点来说，P绝不是最近的点 153
20. 单位正方形S=［0，1］×［0，1］的一个子集A在S内稠密，而且与S相交的每一条铅直或水平直线恰好交A于一点 153
21. 与任一直线至多有两个公共点的不可测平面集 154
22. 一个非负的二元函数f(x,y)，适合？，但是？并不存在，其中S=［0，1］×［0，1］ 157
23. 图形为不可测平面集的单实变实值函数 157
24. 从一个连通集只移走一个点，它就变成完全不连通集 158
第十一章 面积 160
引言 160
1. 没有面积的有界平面集 161
2. 没有面积的紧平面集 161
3. 没有面积的有界平面区域 162
4. 没有面积的有界平面Jordan区域 162
5. 一条简单闭曲线，它的平面测度比它围成的有界区域的平面测度还要大 162
6. 定义在［0，1］上的两个函数φ和ψ，适合(a) φ(x)<ψ(x),x∈［0，1］ 162
定义在［0，1］上的两个函数φ和ψ，适合(b) ？［ψ(x)-φ(x)］dx存在且等于1 163
定义在［0，1］上的两个函数φ和ψ，适合(c) ？没有面积 163
7. 指定一个任意大的有限数或无穷大作为直立圆柱侧面面积的方法 163
8. 三维空间的曲面S，对于两个正数ε和M来说，适合(a) S同胚于球面 166
三维空间的曲面S，对于两个正数ε和M来说，适合(b) S的曲面面积存在且小于ε 166
三维空间的曲面S，对于两个正数ε和M来说，适合(c) S的三维Lebesgue测度存在且大于M 166
9. 在一个平面测度任意小的平面集内，长度等于1的直线段的方向能够经过连续运动而反转过来 167
第十二章 度量空间与拓扑空间 168
引言 168
1. 非空闭有界集的一个下降序列，其交集为空集 172
2. 取离散拓扑的不完全度量空间 173
3. 完全度量空间内非空闭球的一个下降序列，其交集为空集 173
4. 开球O与闭球B的中心和半径都相同，但是B≠O 174
5. 半径分别为r1和r2的闭球B1与B2，虽然r1>r2,却有？ 174
6. 拓扑空间X和它的一个子集Y，而Y的极限点不能构成闭集 175
7. 一个拓扑空间，其中序列的极限不是唯一的 175
8. 有不可分子空间的可分空间 175
9. 不满足第二可数公理的可分空间 176
10. 用于给定集合的两个不同的拓扑，而有相同的收敛序列 176
11. 拓扑空间X，集？以及A的一个极限点，它不是A内任何序列的极限 179
12. 拓扑空间X，它的点都是函数，其拓扑相当于逐点收敛，它不是可度量化空间 182
13. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是连续的，但既不是开的也不是闭的 182
14. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是开的和闭的，但不是连续的 183
15. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是闭的，但既不是连续的也不是开的 183
16. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是连续的和开的，但不是闭的 184
17. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是开的，但既不是连续的也不是闭的 184
18. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是连续的和闭的，但不是开的 185
19. 拓扑空间X，它的子空间Y内有两个不相交的开集，不能得自Y与X的不相交开集之交 185
20. 两个不同胚的拓扑空间，每一个都是另一个的连续的一对一映象 185
21. 三维Euclid球B分为五个不相交的子集S1，S2，S3，S4，S5的一个分解(其中S5仅由一点组成)，和五个刚体运动R1，R2，R3，R4，R5，适合？ 187
22. 给定了ε，M>0，半径分别为ε和M的两个Euclid球Bε和BM，Bε分为有限多个不相交的子集S1，S2…，Sn的一个分解，和n个刚体运动R1，R2，…，Rn,适合BM=R1(S1)∪R2(S2)∪…Rn(Sn) 187
第十三章 函数空间 188
引言 188
1. 两个单调函数，它们的和不是单调函数 191
2. 两个周期函数，它们的和不是周期函数 191
3. 两个半连续函数，它们的和不是半连续函数 192
4. 两个平方Riemann可积函数，它们的和不是平方Riemann可积的 193
5. 两个平方Lebesgue可积函数，它们的和不是平方Lebesgue可积的 194
6. 函数空间是线性空间，但既不是一个代数，也不是一个格 194
7. 线性函数空间是一个代数，但不是一个格 194
8. 线性函数空间是一个格，但不是一个代数 195
9. 用于［0，1］上的连续函数空间C(［0，1］)的两种度量，使得按照一种度量的单位球的补集在另一种度量下的单位球内是稠密的 195
参考书目 197