《复变函数教程》可作为综合大学和高等师范院校数学系及相关专业大学生的教科书或教学参考书,也可作为大、中学数学教师、科技工作者和工程技术人员的数学参考书。
第一章 复数与复空间 1
1 复数域 1
2 复数的表示 2
3 复数的运算 4
4 不等式 5
5 圆周和直线方程 7
6 关于圆周的对称点 9
7 复数的球面表示与扩充复平面 11
习题 14
第二章 复平面的拓扑 17
1 复平面上的开集与闭集 17
2 完备性 19
3 紧性 20
4 曲线 22
5 连通性 25
6 连续函数 28
习题 29
第三章 解析函数概念与初等解析函数 31
1 解析函数概念 31
2 可导的充要条件 33
3 导数的运算 36
4 导数的几何意义与函数的实可微 40
5 指数函数 44
6 儒可夫斯基函数 46
7 分式线性变换 49
8 三角函数 55
9 对数函数 59
10 幂函数 63
11 儒可夫斯基函数的反函数与反三角函数 65
11.1 儒可夫斯基函数的反函数 65
11.1 反三角函数 68
习题 71
第四章 Cauchy定理与Cauchy公式 75
1 积分 75
2 Cauchy定理 79
3 Cauchy公式 88
4 变上限积分确定的函数 96
5 最大模原理与Schwarz引理 101
习题 105
1.1 数项级数 109
第五章 解析函数的级数展开 109
1 函数项级数 109
1.2 函数项级数与Welerstrass定理 110
1.3 级数?的收敛性 115
2 幂级数与Taylor展式 118
2.1 幂级数 118
2.2 解析函数的Taylor展式 124
2.3 零点的孤立性与唯一性 127
3 Laurent 级数与Laurent展式 129
3.1 Laurent 级数 129
3.2 Laurent 展式 131
3.3 孤立奇点 134
4 整函数与亚纯函数 141
习题 144
第六章 留数定理和幅角原理 148
1 留数定理 148
1.1 留数的定义与计算 148
1.2 留数定理 150
2 幅角原理与Rouché定理 153
2.1 关于零点与极点的一般定理 153
2.2 幅角原理与Rouché定理 155
3 求解析函数的零点数 159
4 单叶解析函数的性质 163
5 求亚纯函数的展式 169
6 求某些函数的定积分 172
习题 185
1.1 调和微分与共轭调和微分 190
1 共轭调和微分与Green公式 190
第七章 调和函数 190
1.2 Green公式 195
2 平均值性质 196
3 Poisson公式与Poisson积分 199
3.1 Poisson公式 199
3.2 Poisson积分 202
4 几个等价命题与Harnack原理 205
4.1 调和函数的几个等价命题 205
4.2 Harnack原理 206
5 次(下)调和函数 208
6 Dirichlet问题 212
习题 219
1.1 解析开拓概念 222
第八章 解析开拓 222
1 解析开拓概念与幂级数解析开拓 222
1.2 幂级数的解析开拓 224
2 对称原理 227
3 单值性定理 232
3.1 沿曲线的解析开拓 232
3.2 单值性定理 235
习题 239
第九章 共形映射 242
1 共形映射的例子 242
1.1 单连通区域情形 242
1.2 二连通区域性形 249
2 黎曼存在定理 252
2.1 Montel定理 253
2.2 黎曼存在定理 258
3 边界对应 262
3.1 函数?(w)的连续开拓 262
3.2 函数f(z)的连结开拓 266
4 多角形的共形映射 269
4.1 Schwarz-Chrlstoffel公式 269
4.2 矩形情形 275
习题 279
附录 283
习题答案与提示 299
名词索引 322
参考书目 325