第一章 绪论 1
1.1 数学物理微分方程 1
1.2 坐标变换 3
1.2.1 波动方程中的应用 6
1.2.2 参与计算的不同函数的举例 11
13. 伽傌(gamma)和倍塔(beta)函数 12
第一部分 积分方法 19
第二章 迴路积分和保角变换 19
2.1 复平面中的迴路积分 19
2.1.1 曲线积分 23
2.1.2 斯笃克斯(Stokes)定理 24
2.1.3 柯西(Gauchy)定理 25
2.1.4 有理函数 26
2.1.5 迴路积分定理、留数计算 32
2.2 保角变换 41
2.2.1 交互变换：无穷远点 45
2.2.2 双线性变换或麦比乌斯(M？bius)变换 46
2.2.3 变换w=z+k2/z,k是正实数 48
2.2.4 变换w=logz 49
2.2.5 变换w=coshz 50
2.2.6 连续变换，例：w=tg2(1/4π？) 50
2.2.7 半平面到多边形的变换(旋瓦兹-克利斯多菲变换)(Schwarz-Christoffel) 51
2.2.8 保角变换应用小结 52
第三章 稳相法和最速落径法 54
3.1 稳相法(或稳相原则) 54
3.1.1 初始扰动波(位移或脉冲)沿水面的传播 56
3.1.2 地震面波 59
3.1.3 频散波的横折射 60
3.2 最速落径法 62
3.2.1 瓦特逊(Watson)引理 62
3.2.2 最速落径法 63
3.2.3 最速落径法的应用 67
3.2.4 最速落径法与稳相法的比较 71
3.3 埃里(Airy)积分 72
3.3.1 定义 72
3.3.2 级数展开 74
3.3.3 渐近表示式 78
3.3.4 应用 80
4.1 基本概念 83
第四章 级数积分 83
4.1.1 级数积分法应用的限制 86
4.1.2 朗斯基或朗斯基(Wronskian)行列式 88
4.2 勒让德(Legendre)微分方程 89
4.2.1 物理上的应用 96
4.2.2 Pn(x)和Qn(x)之间的关系 96
4.3 贝塞耳(Bessel)微分方程 99
4.3.1 朗斯基行列式在贝塞耳微分方程中的应用 106
4.3.2 勒让德方程和贝塞耳方程之间关系 107
4.4 埃尔米特(Hermite)微分方程 108
4.5 拉盖尔(Laguerre)微分方程 112
4.5.1 缔合拉盖尔多项式和拉盖尔函数 114
4.5.2 拉盖尔函数的地震学应用 115
4.6 高斯(超越几何)微分方程--惠特(Whittaker)函数 117
4.6.1 向勒让德方程的变换 120
4.6.2 车比雪夫(Tschebyscheff)多项式 121
4.6.3 雅可比(Jacobi)多项式 121
4.6.4 组合超越几何函数 122
4.6.5 惠特函数 123
4.6.6 韦伯(Weber)函数 128
4.6.7 向波动方程的变换 129
4.7 非均匀各向同性介质的乐夫(Love)波 131
第二部分 特殊函数 136
第五章 贝塞耳函数 136
5.1 贝塞耳函数的起源 136
5.2 贝塞耳系数的性质 139
5.2.1 一个重要定理 139
5.2.2 贝塞耳系数的循环关系 142
5.2.3 贝塞耳系数的级数展开 144
5.2.4 贝塞耳系数的积分表示式 147
5.2.5 贝塞耳系数的加法公式 152
5.2.6 含有贝塞耳函数的积分 153
5.2.7 贝塞耳级数展开，傅里叶-贝塞耳积分 155
5.3 广义贝塞耳函数 159
5.3.2 球面贝塞耳函数 164
5.3.3 修正贝塞耳函数 166
5.3.1 零阶汉克尔(Hankel)函数 169
5.3.4 ber和bei函数 171
5.3.5 贝塞耳函数的渐近表示式 172
5.4 贝塞耳和汉克尔函数的应用 176
5.4.1 声学重力波 176
5.4.2 圆锥形压缩波 180
5.4.3 非均匀半空间波的反射 183
第六章 勒让德函数 189
6.1 勒让德多项式 189
6.1.1 勒让德多项式的性质 190
6.1.2 正交系 194
6.1.3 勒让德级数展开 196
6.1.4 洛得利格(Rodrigues)公式 197
6.1.5 勒让德多项式的循环关系 198
6.1.6 Pn(x)的斯列夫利(Schlafli)积分 200
6.2 勒让德函数 200
6.2.1 第一类勒让德函数 200
6.2.2 第二类勒让德函数 202
6.2.3 费勒(Ferrer)缔合勒让德函数 203
6.2.4 缔合勒让德函数的积分性质 204
6.3 勒让德函数的应用 208
6.3.1 勒让德函数表示的拉普拉斯方程的解。球调和函数 208
6.3.2 勒让德函数表示的波动方程解 211
6.3.3 勒让德函数的一些其它地球物理应用 212
第七章 波动方程 214
7.1 波动方程的一般研究 214
7.1.1 平面波 215
7.1.2 球面波 216
7.1.3 分离变量 217
7.2 波动方程的空间形式解 218
7.2.1 一维 218
7.2.2 二维 219
7.2.3 三维 221
7.2.4 结束语 228
7.3 球面波展开为平面波：索末菲(Sommerfeld)积分 229
7.4 波动方程的基尔霍夫(Kirchhoff)解 235
7.4.1 泊松(Poisson)公式 244
7.4.2 亥姆霍兹(Hclmholtz)公式 245
7.4.3 基尔霍夫公式的推广 246
7.5 特殊函数及特殊微分方程的共同特征 247
7.5.1 母函数 247
7.5.2 斯特姆-刘维尔(Sturm-Liouville)定理 251
7.5.3 从一个微分方程到另一个方程的推导 253
7.5.4 数学物理偏微分方程 253
8.1 拉普拉斯(Laplace)变换和傅里叶(Fourier)变换介绍 255
8.1.1 积分变换的定义 255
第八章 积分变换 255
第三部分 数学方法选 255
8.1.2 傅里叶积分公式 256
8.1.3 反演公式 258
8.1.4 拉普拉斯变换在微分方程中的应用 263
8.1.5 傅里叶变换的应用 267
8.1.6 有限变换 271
8.2 应用拉普拉斯变换解微分方程 275
8.2.1 常系数线性常微分方程 276
8.2.2 拉普拉斯变换的一些定理 278
8.2.3 拉普拉斯变换反演定理，借助复平面中迴路积分计算反演公式 282
8.2.4 线性偏微分方程 285
8.2.5 薄膜的受迫振动 287
8.2.6 热辐射流 294
8.2.7 半无限固体中的热流 297
8.3 脉冲函数 299
8.3.1 获拉克δ-函数 299
8.3.2 δ-函数在卷积公式中的应用 304
8.3.3 平面边界处的地震波 310
8.3.4 超临界角入射的脉冲反射 315
8.4 卡格尼阿(Gagniard)法 320
8.4.1 方法概述 320
8.4.2 对无限介质中球面空腔源的应用 322
8.4.3 结束语和对任意源函数的推广 337
第九章 矩阵计算 341
9.1 引言 341
9.2.1 波在任意多层构造中的传播 342
9.2 瑞利波的哈斯开尔(Haskell)矩阵法 342
9.2.2 位移和应力 346
9.2.3 边界条件和它们的解 347
9.2.4 垂直位移和水平位移间的相位差 353
9.2.5 长波的渐近形式 355
9.2.6 短波的渐近形式 356
9.2.7 液体层的矩阵am 360
9.3 乐夫波 362
9.4 体波在多层介质中的传播 364
第十章 变分计算 366
10.1 变分计算基础 366
10.1.1 一个独立变量和一个因变量 366
10.1.2 一个独立变量和数个因变更 368
10.1.3 数个独立变量和一个因变量 370
10.1.4 高阶导数 371
10.1.5 特殊情况中尤拉方程的解 372
10.1.6 附属或者辅助条件，拉格朗日(Lagrange)未定乘子法，等周问题 373
10.2 变分计算的应用 375
10.2.1 变分问题得到的斯特姆-刘维尔方程 375
10.2.2 地震体波传播的变分问题 376
10.2.3 运动的变分方程 381
第十一章 积分方程 385
11.1 积分方程的定义和解 385
11.1.1 定义 385
11.1.2 特殊类型积分方程的解 386
11.1.4 微分方程和积分方程的关系 391
11.1.3 傅里叶和拉普拉斯变换 391
11.2 地震射线理论中的应用 394
11.2.1 阿贝耳(Abel)积分方程的解 394
11.2.2 地球内部速度分布的确定 397
第四部分 一些地震学应用 401
第十二章 兰姆(Lamb)问题 401
12.1 各向同性弹性固体中的二维问题(面源，线源) 401
12.1.1 引言(无限弹性固体) 401
12.1.2 无限弹性固全中作用在y=0平面上的周期力(或者作用在y=0的薄层上) 405
12.1.3 无限弹性固体中作用于x=0、y=0线上的集中力 406
12.1.4 作用于半无限弹性固体表面上的垂直力 411
12.1.5 沿着x=0，y=0线作用于半无限弹性固体表面的垂直力 412
12.1.6 作用于半无限弹性固体表面的切向力 413
12.1.7 无限弹性固体中保持平面y=0无应力条件下的三个线源的情况 415
12.1.8 位移积分解的计算 418
12.2 各向同性弹性固体中的三维问题(体源、点源) 429
12.2.1 绪论 429
12.2.2 无限弹性固体中作用于z=0平面上的周期力(面源) 434
12.2.3 无限弹性固体中沿Z轴作用的周期力(点源) 435
12.2.4 作用于半无限弹性固体表面的周期力(面源) 436
12.2.5 作用在源处的集中垂直压力(点源) 437
12.2.6 积分解的计算 437
12.3 三维情况中的任意时间变化 441
第十三章 波在液体中的传播 446
13.1 波在两个半空间液层中的传播 446
13.1.1 位移位积分解的推导 446
13.1.2 积分解的计算 450
13.1.3 远距离处的解 457
13.1.4 对脉冲的推广 458
13.2 速度随深度变化的液体半空间中波的传播 462
第十四章 重力对波传播的影响 469
14.1 数学引论 469
14.2 体波 475
14.2.1 微分方程的推导 475
14.2.2 用体膨胀表示的微分方程的解 477
14.2.3 用位移表示的解 478
14.2.4 引入压力消除积分常数C 479
14.2.5 ［19］式的解 480
14.2.6 解［26］式的讨论 481
14.3 面波 488
参考文献 490