第一章 基础理论 1
§1 有限维空间的范数 1
1．1 向量范数 3
1．2 矩阵范数 5
1．3 诱导矩阵范数 8
§2 基本变换矩阵 12
2．1 初等矩阵 12
2．2 Householder变换 15
2．3 Givens变换 17
§3 矩阵的因子分解 19
3．1 满秩分解 19
3．2 QR分解 20
3．3 schur分解 25
3．4 奇异值分解 30
3．5 正交投影和C-S分解 33
§4 浮点舍入误差分析 41
习题 46
第二章 线性代数方程组的直接解法 50
§1 Gauss消去法和三角分解 50
1．1 Gauss消去法 50
1．2 三角分解 53
1．3 选主元 57
1．4 对称正定组 60
2．1 线性代数方程组的性态 62
§2 误差分析 62
2．2 Gauss消去法的舍入误差分析 64
§3 迭代改善和解的精度估计 72
习题 75
第三章 线性代数方程组的迭代解法 79
§1 基本概念和性质 79
1．1 逐次逼近法 79
1．2 不可约矩阵和对角占优矩阵 84
§2 基本迭代方法 87
2．1 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代 87
2．2 逐次超松弛(SOR)迭代 92
3．1 相容次序和性质A 95
§3 SOR迭代的收敛理论 95
3．2 最优松弛因子 99
§4 共轭梯度法 107
4．1 共轭梯度(CG)算法的导出 107
4．2 共轭梯度(CG)算法的性质 113
习题 115
第四章 正交化和线性最小二乘法 117
§1 线性最小二乘问题 117
1．1 问题的引入 117
1．2 解的存在性、唯一性 118
§2 广义逆矩阵 121
2．1 定义和表示 121
2．2 基本性质 123
2．3 投影AA+和A+A 124
§3 线性最小二乘问题的性态 126
§4 正交化方法 131
§5 秩亏损情况 135
5．1 带列交换的QR分解 136
5．2 奇异值分解 139
习题 143
第五章 非对称特征值问题 145
§1 基本性质 145
1．1 特征值的界限 146
1．2 扰动和敏感性 148
2．1 算法和收敛性分析 157
§2 乘幂法 157
2．2 收缩技巧 163
§3 反迭代和Rayleigh商迭代 165
3．1 反迭代 165
3．2 Rayleigh商迭代(RQI) 171
§4 QR方法 175
4．1 基本算法及收敛性 175
4．2 带原点位移的QR算法 181
4．3 实矩阵的双重步QR算法 183
§5 广义特征值问题——QZ方法 188
5．1 约化到中间矩阵 190
5．2 QZ算法 192
5．3 双重步QZ算法 194
习题 197
第六章 对称特征值问题 200
§1 基本性质 200
1．1 特征值和特征向量的估计 200
1．2 极值定理 203
1．3 Rayleigh商 207
§2 Jacobi方法 210
2．1 经典Jacobi方法 210
2．2 循环Jacobi方法及其变形 214
§3 子空间迭代法 216
3．1 算法 216
3．2 收敛性分析 217
4．1 三对角化 225
§4 Givens方法 225
4．2 特征值的计算 227
4．3 特征向量的计算 233
§5 对称QR方法 234
5．1 隐位移QR算法 234
5．2 计算奇异值分解 237
§6 Lanczos方法 242
6．1 算法 243
6．2 收敛性分析 245
§7 对称广义特征值问题 249
7．1 约化到对称特征值问题 249
7．2 行列式查找法 251
习题 256