第一章 曲线论 1
1 向量代数复习 1
2 向量函数 10
2.1 向量函数的极限 10
2.2 向量函数的连续性 13
2.3 向量函数的微商 13
2.4 向量函数的泰勒(Taylor)公式 16
2.5 向量函数的积分 17
3.1 曲线的概念 22
3 曲线的概念 22
3.2 光滑曲线 曲线的正常点 25
3.3 曲线的切线和法面 27
3.4 曲线的弧长 自然参数 31
4 空间曲线 37
4.1 空间曲线的密切平面 38
4.2 空间曲线的基本三棱形 41
4.3 空间曲线的曲率、桡率和伏雷内(Frenet)公式 45
4.4 空间曲线在一点邻近的结构 52
4.5 空间曲线论的基本定理 56
5.1 平面曲线 60
5 特殊曲线 60
(1) 平面曲线的伏雷内标架 61
(2) 平面曲线的曲率、曲率半径、曲率中心及曲率圆 62
(3) 平面曲线的伏雷内公式 69
(4) 平面曲线在一点邻近的结构 71
(5) 平面曲线的渐缩线和渐伸线 73
5.2 一般螺线 78
5.3 贝特朗(Bertrand)曲线 81
1 曲面的概念 87
1.1 简单曲面及其参数表示 87
第二章 曲面论 87
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 90
1.3 曲面上的曲线族和曲线网 96
2 曲面的第一基本形式 98
2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 98
2.2 曲面上两方向的交角 101
2.3 正交曲线族和正交轨线 103
2.4 曲面域的面积 104
2.5 等距变换 105
2.6 保角变换 108
3 曲面的第二基本形式 111
3.1 曲面的第二基本形式 111
3.2 曲面上曲线的曲率 117
3.3 杜邦(Dupin)指标线 121
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 122
3.5 曲面的主方向和曲率线 125
3.6 曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率 129
3.7 曲面在一点邻近的结构 135
3.8 高斯曲率的几何意义 139
4 直纹面和可展曲面 145
4.1 直纹面 145
4.2 可展曲面 150
5 曲面论的基本定理 159
5.1 曲面的基本方程和克里斯托斐耳(Christoffe)符号 160
5.2 曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式 163
5.3 曲面论的基本定理 168
6 曲面上的测地线 174
6.1 曲面上曲线的测地曲率 174
6.2 曲面上的测地线 177
6.3 曲面上的半测地坐标网 179
6.4 曲面上测地线的短程性 181
6.5 高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式 184
6.6 曲面上向量的平行移动 187
6.7 极小曲面 193
7 常高斯曲率的曲面 198
7.1 常高斯曲率的曲面 198
7.2 伪球面 199
7.3 罗氏几何 204
第三章 外微分形式和活动标架 209
1 外微分形式 209
1.1 格拉斯曼(Grassmann)代数 209
1.2 外微分形式 214
1.3 弗罗皮厄斯(Frobenius)定理 224
2.1 合同变换群 239
2 活动标架 239
2.2 活动标架 242
2.3 活动标架法 252
2 用活动标架法研究曲面 255
3.1 曲面论的基本定理 255
3.2 曲面的第一和第二基本形式 256
2.3 曲面上的曲线 法曲率 测地曲率和测地挠率 257
3.4 曲面的主曲率 欧拉公式 高斯曲率和平均曲率 260
3.5 曲面上的平行移动 262
3.6 高斯-波涅公式 265
3.7 闭曲面的欧拉示性数 267