预备知识 1
第一节 集及其运算 1
一、集与元 1
二、子集与空集 集的相等 3
三、集的运算与运算规律 4
四、集的直积 6
第二节 映射 6
一、实数概述 8
第三节 实数及其绝对值 8
二、实数的绝对值的四则运算 10
第四节 几个重要的不等式 10
第五节 量词 否定 12
习题 14
第一章 函数概论 19
第一节 变量与函数 19
一、变量 19
二、函数 20
三、几类特殊的函数 24
一、和、差、积、商函数 27
第二节 函数的运算 初等函数 27
二、复合函数 28
三、反函数 30
四、初等函数 32
习题 34
第二章 极限与连续初论 40
第一节 数列的极限 40
一、数列极限的概念与定义 40
二、数列极限的四则运算 46
三、数列收敛的条件 50
四、从极限值看收敛数列的性质 59
第二节 函数的极限 60
一、函数极限的概念与各种类型 一个重要极限 61
二、Heine 归结原理 69
三、函数极限的有关定理 另一个重要极限 71
四、无穷大量 无穷小量 80
第三节 连续函数 84
一、连续点 84
二、间断点 87
三、连续函数的运算 90
四、初等函数的连续性 93
五、函数的一致连续性 94
习题 98
第三章 极限与连续续论 109
第一节 子列 数列的上下极限 109
一、子列 109
二、数列的上下极限 112
第二节 关于实数系的几个基本定理 115
一、区间套定理 116
三、有限覆盖定理 117
二、收敛子列存在定理 117
第三节 闭区间上连续函数的基本性质 121
一、介值定理 122
二、最值定理 有界性定理 124
三、一致连续性定理 125
习题 127
第四章 导数与微分 132
第一节 导数的概念与定义 132
一、导数的概念 132
二、导数的定义 134
三、切线方程与法线方程 135
四、可导性与连续性的关系 138
五、导函数 138
第二节 求导法则 140
一、导数的四则运算法则 140
二、反函数的导数 142
三、复合函数的导数 144
第三节 微分 148
一、微分的概念 148
二、微分公式 微分的运算法则 一阶微分形式不变性 150
三、微分的应用 152
第四节 高阶导数与高阶微分 154
一、高阶导数 154
二、高阶微分 158
三、参数方程表示的函数的导数 159
习题 161
第五章 微分中值定理及其应用 167
第一节 Rolle 定理 Lagrange 定理 Cauchy 定理 167
第二节 Taylor 定理 Lagrange 插值公式 172
一、Τaylor 定理 172
二、Lagrange 插值公式 177
第三节 L＇Hopital 法则 178
一、0/0型 179
二、∞/∞型 180
三、其他待定型 184
第四节 函数的单调性 极值与最值 185
一、函数的单调性 185
二、函数极值 187
三、函数的最值 190
第五节 函数的图形 193
一、曲线的凸性与拐点 194
二、曲线的渐近线 198
三、函数的图形 201
第六节 压缩映射原理 方程求根的 Νewton 法 203
一、压缩映射原理 203
二、Νewton 法 206
习题 209
第六章 不定积分 221
第一节 不定积分的概念 基本积分表 221
一、原函数与不定积分 221
二、基本积分表 224
一、分项积分法 226
第二节 分项积分法 分部积分法 换元积分法 226
二、分部积分法 227
三、换元积分法 232
第三节 有理函数的积分 可化为有理函数的积分 238
一、有理函数的积分 238
二、三角函数有理式的积分 243
三、两类可有理化的积分 246
习题 249
一、定积分的概念 Riemann 和 253
第七章 定积分及其应用 253
第一节 定积分的概念 可积条件 253
二、Darboux 和 Darboux 积分 256
三、可积的充要条件 259
第二节 可积函数类 微积分基本定理 263
一、可积函数类 263
二、微积分基本定理 266
第三节 定积分的运算与性质 原函数存在定理 269
一、可积函数的运算 269
二、定积分对区间的可加性与估计式 272
三、积分第一中值定理 原函数存在定理 276
第四节 定积分的计算与估计 280
一、定积分的计算 280
二、定积分的估计 286
第五节 定积分在几何中的应用举隅 289
一、平面图形的面积 289
二、平面曲线的弧长与曲率 294
第六节 定积分在物理中的应用举隅 302
一、功 303
二、液体的旁压力 304
第七节 数值积分初步 306
一、矩形法 梯形法 抛物线法 306
二、Εuler-Maclaurin 公式 数值积分的余项估计 312
习题 316
第八章 广义积分 329
第一节 无穷区间上函数的广义积分 329
一、基本概念 329
二、积分第二中值定理 敛散性判别法 335
三、Cauchy 主值 349
第二节 无界函数的广义积分 350
第三节 广义积分的性质计算与估计 359
习题 364
第九章 数项级数 371
第一节 级数的概念与敛散性 371
一、级数及其敛散性 371
二、级数与广义积分的联系 375
第二节 非负项级数 376
一、判别敛散性的基本定理与比较判别法 377
二、几种常用的敛散性判别法 381
三、积分判别法 Stirling 公式 389
第三节 任意项级数 395
一、绝对收敛与条件收敛 395
二、交错级数 Leibnitz 判别法 398
三、Dirchlet 判别法 Abel 判别法 401
第四节 收敛级数的余项估计 级数收敛速度的改善 405
一、余项估计 405
二、改善级数收敛速度的 Kummer 方法 409
第五节 收敛级数的运算 411
习题 418