第一章 误差分析 1
1.1 数的表示 2
1.2 舍入误差和浮点运算 5
1.3 误差传播 10
1.4 例题 23
1.5 区间运算·统计舍入估计 31
第一章习题 37
第一章参考文献 40
第二章 插值法 42
2.1 多项式插值 43
2.1.1 理论基础：Lagrange 插值公式 43
2.1.2 Neville 算法 45
2.1.3 Newton 插值公式：均差 49
2.1.4 多项式插值的误差 54
2.1.5 Hermite 插值 57
2.2 有理函数插值 65
2.2.1 有理插值的一般性质 65
2.2.2 反差商和倒差商：Thiele 连分式 70
2.2.3 Neville 型算法 75
2.2.4 有理插值和多项式插值的比较 79
2.3 三角插值 81
2.3.1 基本情况 81
2.3.2 快速 Fourier 变换 86
2.3.3 Coertzel 和 Reinsch 算法 95
2.3.4 计算 Fourier 系数·衰减因子 99
2.4 样条函数插值 105
2.4.1 理论基础 105
2.4.2 求插值样条函数 110
2.4.3 样条函数的收敛性 116
2.4.4 B样条 121
2.4.5 B样条的计算 126
第二章习题 131
第二章参考文献 140
第三章 数值积分 142
3.1 Newton-Cotes 积分公式 143
3.2 Peano 误差表示 149
3.3 Euler-Maclaurin 求和公式 155
3.4 用外推法求积分 160
3.5 外推方法 166
3.6 Gauss 积分方法 172
3.7 奇异积分 183
第三章习题 186
第三章参考文献 190
第四章 线性方程组 192
4.1 Gauss 消去法·矩阵的三角分解 192
4.2 Gauss-Jordan 算法 203
4.3 Cholesky 分解 208
4.4 误差界 211
4.5 Gauss 消去法的舍入误差分析 220
4.6 解三角形方程组的舍入误差 226
4.7 Housoholder 和Gram-Schmidt 直交化方法 228
4.8 数据拟合 236
4.8.1 线性最小二乘·法方程 238
4.8.2 利用直交化方法解线性最小二乘问题 240
4.8.3 线性最小二乘问题的条件 242
4.8.4 非线性最小二乘问题 249
4.8.5 广义逆矩阵 251
4.9 矩阵分解的修改方法 254
4.10 单纯形法 264
4.11 单纯形法的第一阶段 279
4.12 稀疏矩阵的消去法 283
第四章习题 292
第四章参考文献 297
第五章 迭代法求零点和极小点 299
5.1 迭代法的提出 300
5.2 一般收敛性定理 303
5.3 多变量 Newton 法的收敛性 308
5.4 修正 Newion 法 312
5.4.1 极小化方法的收敛性 313
5.4.2 对收敛性准则修正 Newton 法的应用 319
5.4.3 对修正 Newton 法实际执行的意见·Broyden 秩-方法 323
5.5 多项式求根·NeWton 法的应用 327
5.6 Sturm 序列和二分法 339
5.7 Bairstow 方法 344
5.8 多项式根的灵敏性 346
5.9 求根的插值方法 350
5.10 Aitken 的⊿2方法 356
5.11 无约束极小化问题 361
第五章习题 371
第五章参考文献 374
第六章 特征值问题 377
6.0 引言 377
6.1 特征值的基本情况 378
6.2 矩阵的 Jordan 标准形 382
6.3 矩阵的 Frobenius 标准形 388
6.4 矩阵的 Schur 标准形·Hermite 矩阵和正规矩阵·矩阵的奇异值 393
6.5 约化矩阵为简单形式 400
6.5.1 约化 Hermite 矩阵为三对角阵；Householder 方法 403
6.5.2 约化 Hermite 矩阵为三对角阵或对角阵：Givens 方法和 Jacobi 方法 409
6.5.3 约化矩阵为 Frobenius 阵 414
6.5.4 约化矩阵为 Hessenberg 阵 416
6.6 求特征值和特征向量的方法 420
6.6.1 计算 Hermite 三对角阵的特征值 421
6.6.2 计算 Hessenberg 阵的特征值·Hyman 方法 423
6.6.3 简单向量迭代和 Wielandt 逆迭代 424
6.6.4 LR 方法 433
6.6.5 LR 方法的实现 440
6.6.6 QR 方法 443
6.7 矩阵奇异值的计算 451
6.8 广义特征值问题 457
6.9 特征值的估计 458
第六章习题 473
第六章参考文献 481
第七章 常微分方程 483
7.0 引言 483
7.1 常微分方程理论中的一些定理 485
7.2.1 单步法：基本概念 490
7.2 初值问题 490
7.2.2 单步法的收敛性 495
7.2.3 单步法整体离散误差的渐近展开式 499
7.2.4 单步法舍入误差的影响 501
7.2.5 单步法的实际执行 504
7.2.6 多步法：例 510
7.2.7 一般多步法 514
7.2.8 一个发散的例子 517
7.2.9 线性差分方程 521
7.2.10 多步法的收敛性 524
7.2.11 线性多步法 529
7.2.12 线性多步法总体离散误差的渐近展式 534
7.2.13 多步法的实际执行 539
7.2.14 解初值问题的外推法 543
7.2.15 解初值问题方法的比较 546
7.2.16 刚性(Stiff)微分方程组 547
7.2.17 隐式微分方程·微分-代数方程 551
7.3.0 引言 556
7.3 边值问题 556
7.3.1 简单打靶法 559
7.3.2 解线性边值问题的简单打靶法 566
7.3.3 边值问题解的存在性与唯一性定理 567
7.3.4 简单打靶法执行中的困难 569
7.3.5 多重打靶法 576
7.3.6 对多重打靶法实施的提示 580
7.3.7 例：推进返回空间飞行器的最优控制程序 586
7.3.8 多重打靶法的极限情形m→∞(一般Newton法，拟线性化) 592
7.4 差分方法 598
7.5 变分方法 604
7.6 解常微分方程边值问题方法的比较 613
7.7 解偏微分方程的变分方法·有限元方法 617
第七章习题 624
第七章参考文献 631
第八章 解大型线性方程组的迭代法·一些其它方法 636
8.0 引言 636
8.1 构造迭代法的一般步骤 637
8.2 收敛定理 640
8.3 松弛方法 646
8.4 差分方法的应用——一个例子 656
8.5 块迭代方法 662
8.6 Peaceman 和 Rachford 的 ADI 方法 665
8.7 Hestenes 和 Stiefel 的共轭梯度法 675
8.8 解离散化 Poisson 方程的 Buneman 算法 680
8.9 多重网格法 689
8.10 迭代法的比较 700
第八章习题 704
第八章参考文献 712
关于数值方法的一般文献 714