第一部分 高等数学 1
第—章 函数、极限、连续 1
§1-1 一元函数 1
一、求函数的表示式和定义域的方法 1
二、求函数的值的方法 3
§1-2 函数的极限 5
一、求待定式极限的方法 6
二、求非待定式极限的方法 15
三、函数极限的局部逆问题的求解方法 15
四、函数极限综合题的求解方法 16
五、求分段函数的极限的方法 17
六、无穷小的阶的比较方法 18
一、函数的连续性讨论 20
§1-3 函数的连续性 20
二、确定函数的间断点及其类型 21
三、在闭区间上的连续函数的性质的应用 22
第二章 一元函数的微分学 26
§2-1 导数和微分 26
一、求函数的导数的基本方法 26
二、不同形式的函数的求导方法 30
三、求函数的高阶导数的方法 32
四、求函数的号微分的方法 34
§2-2 导数和微分的应用 37
一、求平面曲线的切线和法线方程 37
二、研究函数的单调增减性 38
三、求函数的极值和最值 39
四、研究曲线的凹凸性 42
五、证明中值命题 43
六、证明方程的根的存在性与个数 47
七、证明不等式 49
八、求曲线的曲率、曲率半径和曲率圆 53
第三章 一元函数的积分学 58
§3-1 不定积分 58
一、求不定积分的三种基本方法 58
二、几种特殊类型的函数的积分法 64
§3-2 定积分 73
一、计算定积分的基本方法 73
二、奇偶函数的定积分计算法 75
三、分段函数(含带绝对值的函数)的定积分的计算方法 75
四、证明定积分等式的方法 76
五、证明定积分不等式的方法 77
七、估计定积分的值和证明具体函数的积分不等式的方法 78
六、应用积分中值定理证明中值命题的方法 78
八、求由定积分定义的函数的极限、导数、极值和研究这种函数的单调增减性的方法 79
九、广义积分的计算方法 81
§3-3 定积分的应用 86
一、定积分在几何上的应用 86
二、定积分在物理学上的应用 91
第四章 向量代数和空间解析几何 95
§4-1 向量代数 95
一、向量的基本概念及几何意义 95
二、向量的坐标表示 95
三、向量的运算 96
§4-2 空间解析几何 96
一、求方程问题 96
二、求距离与交角 98
第五章 多元函数的微分学 103
§5-1 多元函数的基本概念 103
一、二元函数的定义域与值域 103
二、二元函数的极限 103
三、二元函数的连续性讨论 105
§5-2 多元函数的微分法 107
一、求偏导数的基本方法 107
二、求复合函数的偏导数的方法 108
三、求隐函数的偏导数的方法 110
四、证明偏微分方程成立及转化方程 113
五、求全微分的方法 115
七、方向导数与梯度 116
六、利用全微分进行近似计算 116
八、多元函数的连续性、偏导数的存在性、方向导数的存在性及可微性的讨论 117
§5-3 偏导数的应用 122
一、求空间曲线的切线与法平面方程 122
二、求曲面的切平面与法线方程 123
三、多元函数的泰勒展式 126
四、求多元函数的极值 127
五、多元函数极值的应用 129
第六章 多元函数的积分学 135
§6-1 重积分 135
一、重积分的计算 135
二、重积分在几何上的应用 140
三、证明积分等式的方法 145
四、证明积分不等式的方法 146
六、重积分在物理、力学上的应用 147
五、求由重积分定义的函数的极限、寻数等 147
§6-2 曲线积分 156
一、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)的计算 156
二、对坐标的平面曲线积分(第二类曲线积分)的计算 159
三、对坐标的空间曲线积分的计算 165
四、曲线积分的应用 167
五、两类曲线积分的关系 168
§6-3 曲面积分 170
一、对面积的曲面积分的计算 170
二、对坐标的曲面积分的计算 171
三、曲面积分的应用 174
四、曲面积分的证明题 174
§6-4 场论初步 176
一、基本概念、基本公式的测试形式 176
二、奥高公式、斯托克斯公式的应用 177
第七章 无穷级数 180
§7-1 常数项级数 180
一、判别正项级数的敛散性的方法 180
二、判别支错级数的收敛性的方法 182
三、判别任意项级数的收敛性的方法 183
四、关于常数项级数敛散性的证明题的证明方法 184
五、求收敛的常数项级数的和的方法 186
§7-2 幂级数 189
一、求幂级数的收敛半径和收敛域的方法 189
二、求幂级数在收敛域内的和函数的方法 191
三、利用幂级数的和函数求收敛常数项级数的和的方法 194
四、关于幂级数的敛散性的阿贝尔定理的应用 195
五、将函数展开成幂级数的方法 196
六、幂级数的应用 199
七、求一般函数项级数的收敛域的方法 200
一、秋里克雷定理的应用 203
二、将函数在[-l，l]上展成傅里叶级数的方法 203
§7-3 傅里叶级数 203
三、将函数在[O，l]上展成正弦级数或余弦级数的方法 205
四、利用函数的傅里叶级数展开式，求收敛常数项级数的和的方法 207
五、其他情况举例 208
第八章 微分方程 213
§8-1 一阶微分方程 213
一、用变量分写法解方程 213
二、齐次方程的解法 215
三、全微分方程的解法 217
四、线性方程的解法 218
五、伯努利方程的解法 219
二、方程y″=f(x,y′)的解法 221
§8-2 可降阶的高阶微分方程 221
一、方程y?=f(x)的解法 221
三、方程少y″=f(Y,Y′)的解法 222
§8-3 高阶线性微分方程 223
一、高阶常系数齐次线性微分方程的解法 223
二、二阶常系数线性微分方程的解法 223
三、欧拉方程的解法 226
四、高阶常系数非齐次线性微分方程的解法 227
五、二阶线性方程的通解讨论 227
六、含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组的解法 228
七、微分方程的幂级数解法 230
八、二阶齐次线性微分方程的逆问题解法 231
九、求解积分微分方程 231
十、杂例 232
§8-4 微分方程的应用 237
一、在几何上的应用 237
二、在物理上的应用 239
第二部分 线性代数 242
第九章 n行列式 242
一、计算n阶行列式的基本方法 242
二、计算n阶行列式的其他方法 245
三、证明行列式等式的方法 249
第十章 矩阵 253
§10-1 矩阵的运算 253
一、矩阵的线性运算与乘法运算 253
二、求方阵的幂 254
三、关于矩阵运算的证明题举例 255
四、求与给定矩阵可交换的矩阵 256
§10-2 矩阵的逆阵 257
一、求矩阵的逆阵的方法 257
二、解矩阵方程 259
三、有关逆阵证明题的证明方法 261
四、方阵的行列式的计算 263
五、求分块矩阵的逆阵 263
§10-3 矩阵的秩 268
一、求矩阵的秩的方法 268
二、关于矩阵的秩的证明题举例 268
第十一章 向量 270
§11-1 向量的运算 270
§11-2 向量组的线性相关性 270
一、把一个向量用一向量组线性表示的方法 270
二、判别向量组线性相关性的方法 272
三、向量组线性相关性的讨论 274
四、证明向量组线性相关或线性无关 275
五、向量组线性相关或线性无关的充要条件的证明方法 276
§11-3 向量组的秩 279
一、求向量组的秩与最大无关组的方法 279
二、关于向量组的秩的证明题举例 279
三、判别两向量组等价的方法 280
四、关于等价向量组的证明题举例 280
§11-4 向量空间 281
一、判断一个向量集合是否构成向量空间的方法 281
二、求向量空间的基底和维数的方法 282
三、求向量空间中的向量在给定基底下的坐标的方法 282
四、求n维向量空间的基变换和过渡矩阵 283
五、求n维向量空间中的向量在不同基底下的坐标变换公式 284
§11-5 正交向量组 285
一、已知向量空间的一个基，求它的一个正交单位基的方法 285
二、已知向量空间的一个正交向量组，求它的一个正交单位基的方法 286
第十二章 线性方程组 288
§12-1 n阶纷陆方程组 288
一、解n阶线性方程组的克莱姆法则 288
二、n阶线性方程组的矩阵解法 289
§12-2 齐次线性方程组 290
一、齐次线性方程组恒相容(有解) 290
二、齐次线性方程组解的性质 290
三、齐次线性方程组解的情况 290
一、线性方程组有解的判别定理 292
二、非齐次线性方程组解的性质 292
§12-3 非齐次线性方程组 292
三、非齐次线性方程组解的情况 293
§12-4 用初等行变换求解线性方程组 294
一、用初等行变换求解齐次、非齐次线性方程组 294
二、非齐次线性方程组的系数及自由项中含有待定参数时求解的讨论 297
第十三章 矩阵的特征值与特征向量 301
§13-1 矩阵的特征值与特征向量 301
一、矩阵的特征值与特征向量的概念 301
二、特征值与特征向量的求法 302
三、关于特征值与特征向量的逆问题的解法 303
§13-2 相似矩阵 305
一、相似矩阵的概念、性质 305
二、判断方阵与对角形矩阵相似的方法 307
一、用相似变换化实对称矩阵为对角形矩阵的方法 308
§13-3 实对称矩阵的相似矩阵 308
二、用正交变换化实对称矩阵为对角形矩阵的方法 309
三、正交矩阵的性质及有关证明 311
四、利用矩阵的对角化求方阵的幂 311
第十四章 二次犁 314
§14-1 一次型及其矩阵表示 314
一、二次型及其矩阵表示 314
二、二次型的秩 314
§14-2 一次型的标准形 315
一、用配方法化二次型为标准形 316
二、用正交变换化二次型为标准形 317
§14-3 正定二次型与正定矩阵 320
一、正定距阵的性质 320
二、正定二次型(或正定矩阵)的判别方法 321
三、二次型中含有待定系数时正定性的讨论 323