第一篇 微分方程基础 1
1 微分方程的一般理论与解法 2
1.1 微分方程的基本概念 2
1.2 微分方程的适定性理论 11
1)Cauchy问题的存在唯一性定理 13
2)初值问题和边值问题的存在性定理 18
3)解的延拓 32
4)解对参数与初值的连续性与可微性 37
1.3 常系数线性微分方程的代数解法 44
1)线性常微分方程组解集合的代数结构与解法 44
2)线性常微分方程式解集合的代数结构与解法 60
1.4 常微分方程的分析解法 81
1)分离变量法 81
2)一阶线性方程 89
3)积分因子解法 93
4)一阶隐式方程的解法 100
5)降阶法 104
6)奇解 107
7)首次积分法 112
8)级数解法 116
9)拉普拉斯(Laplace)变换解法 128
1.5 二阶线性方程边值问题与振荡理论 132
1)斯特姆-刘维尔(Sturm-Liouville)边值问题的特征值与特征函数 132
2)特征函数系的正交性和广义傅氏展开 138
3)极值原理与边值问题解的唯一性 139
4)斯特姆(Sturm)振荡理论 145
1.6 周期系数的二阶线性方程 151
习题 158
2 微分方程模型的定性分析方法 180
2.1 运动稳定性 180
1)李雅普诺夫稳定性概念 181
2)稳定性的线性近似判别法 182
3)稳定性的李雅普诺夫函数判别法 188
1)平面自治系统奇点与轨线的一般概念和性质 197
2.2 平面自治系统的奇点和轨线 197
2)线性常系数平面自治系统的奇点 200
3)非线性平面自治系统的初等奇点 206
4)齐次干扰系统的奇点 218
2.3 平面自治系统的极限集和极限环 229
1)平面自治系统的极限集 229
2)平面自治系统的极限环 243
3)参数变化引起的极限环的生消与胀缩 259
2.4 无穷远奇点与全局相图 267
2.5 结构稳定性 276
习题 281
第二篇 科学技术当中的微分方程模型 292
1 综合国力的微分方程模型 292
1.1 数学建模 293
1.2 数学分析 295
1.3 社会意义 299
1.4 参数估计 302
2.1 诱发投资与加速发展的微分方程模型 303
2 市场经济中的微分方程模型 303
2.2 经济调整的微分方程模型 306
2.3 广告的微分方程模型 309
2.4 价格的微分方程模型 311
1)供给、需求与物价的线性微分方程模型 311
2)平抑物价的微分方程模型 313
3)物价的差分方程模型 315
4)物价的非线性微分方程模型 318
3.1 军备竞赛的微分方程模型 325
3 战争中的微分方程模型 325
3.2 战争的微分方程模型 326
3.3 战斗中生存可能性的微分方程模型 332
4 人口与动物世界的微分方程模型 335
4.1 单种群模型和人口问题 335
4.2 进行开发的单种群模型 336
4.3 弱肉强食模型 339
4.4 两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型 342
4.5 无管理的鱼类捕捞模型 346
5.1 艾滋病流行的微分方程模型 350
5 疾病的传染与诊断的微分方程模型 350
5.2 糖尿病诊断的微分方程模型 359
5.3 人体内碘的微分方程模型 362
6 若干实用曲线的微分方程模型 365
6.1 速降线的微分方程模型 365
6.2 悬链线的微分方程模型 368
6.3 盯梢与追击问题的微分方程模型 371
7 航空航天器运动的微分方程模型 378
7.1 人造卫星运动的微分方程模型 378
7.2 航空航天器翻滚控制的微分方程模型 383
8 振动的微分方程模型 385
8.1 线性振动的微分方程模型 385
8.2 非线性振动的微分方程模型 389
9 RLC电路自激振荡的微分方程模型 399
9.1 非线性RLC电路的Lienard方程模型 399
9.2 三极电子管电路的Van der Pol方程模型 404
10.1 问题 407
10 多分子反应的微分方程模型 407
10.2 (a,b;3,1)的奇点 408
10.3 (a,b;3,1)的Hopf分叉 411
10.4 (a,b;3,1)的旋转向量场和极限环的存在性与不存在性 413
10.5 (a,b;1,3),(a;3,1)和(a;1,3) 414
10.6 推广 414
1)奇点 415
2)旋转向量场 416
3)细焦点的判定与Hopf分叉 417
4)Dulac函数 418
5)主要结论 418
习题 419
第三篇 非线性微分方程模型中的混沌 429
1 混沌的数学基础 431
1.1 Bernoulli移位映射σ的混沌表现 431
1)σ对初值微小变化的极端敏感依赖性 432
2)σ的随机性 432
3)σ的遍历性 432
4)σ的周期点 433
1.2 蒙古包与三角帐篷映射的混沌表现 434
1)x？=？n(1-xn)对初值的敏感依赖性和内在随机性 434
2)λ=4时，蒙古包映射化成三角帐篷映射 435
3)三角帐篷映射的内在随机性、对初值的敏感依赖性和周期性 437
4)一般连续映射周期点的沙可夫斯基(Sarkovski)定理 440
1.3 度量混沌的Lyapunov指数 441
1.4 符号空间中的移位映射，Li-York混沌和Devaney混沌 443
1)符号空间中的移位映射 443
2)离散动力系统(∑(N),σ)和(∑(Z),σ) 444
3)Devaney混沌与Li-Yorke混沌 446
1.5 面包师变换、分数维和奇怪吸引子 449
1)面包师变换 449
2)面包师变换的不变集合及其分数维 450
3)奇怪吸引子 452
1.6 Smale马蹄 452
1.7 二维映射双曲点造成的马蹄型混沌 455
2.1 周期脉冲下转子的微分方程模型 458
2 周期脉冲下转子的微分方程模型和依侬映射的混沌表现 458
2.2 依侬映射及其混沌表现 459
3 Lorenz方程与长期预报的不可能性 465
3.1 Lorenz方程 465
3.2 Lorenz方程的轨线和混沌表现 466
4 Hamilton系统和KAM定理 473
4.1 平面Hamilton系统 473
4.2 n个自由度的Hamilton系统 474
4.3 KAM定理 478
5.1 Melnikov函数 484
5 平面Hamilton系统微扰后混沌的解析判据 484
5.2 Duffing方程受弱周期强迫时的混沌运动 489
5.3 超导约瑟夫森(B.D.Josephson)结的方程模型及其混沌表现 491
5.4 催化反应Flickering振颤现象的方程模型及其混沌表现 492
5.5 生态系统的方程模型及其混沌表现 494
5.6 冠状动脉的方程模型及其混沌表现 495
5.7 环面上Van der Pol方程中的混沌解 498
习题 500
参考文献 502