第一章 函数 1
1．1 函数的概念 1
一、函数的定义 1
二、反函数、复合函数、初等函数 3
1．2 函数的几种特性 9
第二章 极限与连续 14
2．1 极限的概念 14
一、极限定义的使用 14
二、有关极限的几个重要定理 21
2．2 极限的计算 23
一、极限的运算法则 23
二、两个重要极限 27
三、无穷小的性质 28
四、两个极限存在的准则 31
五、幂指函数的极限 33
六、已知极限值求极限中的某些常数 35
2．3 连续 36
一、连续的定义和充要条件，间断点的分类 36
二、闭区间上连续函数的性质 40
2．4 证题方法综述 42
第三章 导数和微分 46
3．1 导数的概念 46
一、利用导数的定义求极限 47
二、利用定义和充要条件研究函数的可导性 48
三、综合举例 54
3．2 求导方法 56
一、导数的四则运算 56
二、复合函数的导数 57
三、高阶导数 60
四、隐函数的导数 63
五、由参数方程所确定的函数的导数 65
六、幂指函数的导数和对数求导法 67
七、导数的几何、物理意义及其应用 71
3．3 微分 75
一、微分的定义和计算 75
二、微分的应用 76
第四章 中值定理与罗必塔法则 80
4．1 罗尔、拉格朗日、柯西中值定理 80
一、定理条件的验证 80
二、定理的基本应用 82
三、综合举例 92
4．2 罗必塔法则 98
一、罗必塔法则 98
二、其他未定式 107
4．3 泰勒公式 110
一、求函数的泰勒公式 110
二、利用泰勒公式作近似计算 112
三、用泰勒公式证明不等式 114
四、用泰勒公式求极限 115
第五章 导数的应用 117
5．1 利用导数研究函数的性态 117
一、函数的单调性 117
二、函数的极值与最值 119
三、函数的凹性和拐点 122
四、函数图形的描绘 124
五、曲线的曲率 126
5．2 综合例题 127
一、不定积分的概念和基本性质 139
6．1 最简单的不定积分 139
第六章 不定积分 139
二、最简单的不定积分的计算 142
6．2 换元积分法和分部积分法 145
一、换元积分法 145
二、分部积分法 153
三、换元积分法与分部积分法的综合应用 165
6．3 有理函数的积分 172
6．4 三角函数有理式的积分 180
6．5 简单的无理函数的积分 195
6．6 综合举例 203
第七章 定积分 217
7．1 定积分的概念和性质 217
一、定义和它的应用 217
二、性质 220
一、基本计算方法 225
7．2 定积分的计算方法 225
二、分段函数的积分 231
三、特殊类型的积分 233
7．3 积分上限(下限)的函数及其导数 239
7．4 广义积分 247
一、函数在无穷区间上的积分 247
二、积分区间内或区间端点被积函数有无穷间断点的积分 253
三、积分区间为无穷与积分区间上被积函数有无穷间断点的混合情况 258
7．5 综合举例 260
第八章 定积分的应用 269
8．1 元素法 269
8．2 定积分在几何上的应用 272
一、求平面图形的面积 272
二、体积 281
三、平面曲线的弧长 288
8．3 定积分在物理、力学上的应用 293
一、变力沿直线所作的功 293
二、水压力 296
三、其他应用 299
四、平均值和均方根 303
第九章 向量代数 306
9．1 向量的概念及其几何运算 306
一、向量的概念 306
二、向量的几何运算及其运算规律 306
9．2 向量的坐标表示式 310
一、向量的投影 310
二、向量的坐标表示式 310
三、向量的线性运算的坐标表示 312
一、两向量的数量积 314
9．3 两向量的数量积与向量积 314
二、两向量的向量积 315
三、两向量的夹角、垂直与平行条件 315
第十章 空间解析几何 327
10．1 空间平面及其方程 327
一、平面方程 327
二、两平面之间的相互关系 328
三、点到平面的距离 328
10．2 空间直线及其方程 333
一、空间的直线方程 333
二、两直线间的关系 333
三、直线与平面的夹角 334
10．3 空间的曲面与曲线 351
一、空间的曲面及其方程 351
三、空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程 353
二、空间的曲线及其方程 353
第十一章 多元函数微分法及其应用 364
11．1 多元函数的基本概念 364
一、二元函数的定义 364
二、二元函数的极限 367
三、二元函数的连续性 373
11．2 偏导数 374
一、偏导数的定义 374
二、偏导数的求法 375
三、偏导数的几何意义 376
四、偏导数存在与函数连续性的关系 377
五、方向导数与梯度 379
六、高阶偏导数 383
一、全微分 386
11．3 全微分及其应用 386
二、全微分的应用 389
11．4 多元复合函数的导数 392
一、多元复合函数的求导法则(链式法则) 392
二、几种推广的情形 393
三、利用多元复合函数求导法则求高阶偏导数 396
11．5 隐函数求导法 404
11．6 偏导数的几何应用 414
一、空间曲线的切线与法平面 414
二、空间曲面的切平面与法线 414
11．7 多元函数极值问题的解法 421
一、二元函数无条件极值的求法 421
二、最大值与最小值的求法 426
三、二元函数条件极值的求法 428
一、二重积分的概念 434
12．1 二重积分的概念与性质 434
第十二章 重积分 434
二、二重积分的性质 435
12．2 利用直角坐标计算二重积分 437
12．3 利用极坐标计算二重积分 448
12．4 二重积分换元法 456
12．5 三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法 459
一、三重积分的概念 459
二、三重积分在直角坐标系中的计算方法 459
12．6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 466
一、利用柱面坐标计算三重积分 466
二、利用球面坐标计算三重积分 467
12．7 重积分的应用 477
一、曲面的面积 477
三、静力矩和重心 478
二、质量 478
四、转动惯量 479
12．8 含参变量的积分 492
第十三章 曲线积分与曲面积分 496
13．1 对弧长的曲线积分 496
一、对弧长的曲线积分的定义和性质 496
二、对弧长的曲线积分的计算方法 497
13．2 对坐标的曲线积分 509
一、对坐标的曲线积分的定义和性质 509
二、对坐标的曲线积分的计算方法 510
三、两类曲线积分之间的联系 515
13．3 格林公式及其应用 516
一、格林公式 516
二、与路径无关的曲线积分 523
一、对面积的曲面积分的定义和性质 531
13．4 对面积的曲面积分 531
二、对面积的曲面积分的计算方法 532
13．5 对坐标的曲面积分 538
一、对坐标的曲面积分的定义和性质 538
二、对坐标的曲面积分的计算方法 540
三、两类曲面积分之间的联系 545
13．6 高斯公式和斯托克斯公式 547
一、高斯公式和斯托克斯公式 547
二、与曲面无关的曲面积分和与曲线无关的曲线积分 554
三、场论初步 557
13．7 曲线积分和曲面积分的应用 560
一、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的应用 560
二、对坐标的曲线和曲面积分的应用 567
一、常数项级数的概念 572
14．1 常数项级数的概念和性质 572
第十四章 常数项级数与幂级数 572
二、级数的基本性质 573
三、级数收敛的必要条件 573
14．2 正项级数的审敛法 577
一、比较审敛法 577
二、比值审敛法[达朗贝尔(D Alembert)判别法] 578
三、根值审敛法[柯西(CaUChy)判别法] 579
14．3 任意项级数的审敛法 590
一、交错级数审敛法[莱布尼茨(Leibniz)准则] 590
二、任意项级数的收敛性——绝对收敛与条件收敛 591
14．4 函数项级数的概念与幂级数 602
一、函数项级数的概念 602
二、幂级数及其收敛性 602
三、幂级数的运算 604
二、把函数展开成幂级数 620
14．5 把函数展开成幂级数 620
一、泰勒级数 620
14．6 函数的幂级数展开式的应用 630
第十五章 傅立叶级数 636
15．1 周期为2π的函数的傅立叶级数 636
一、三角级数及三角函数系的正交性 636
二、周期为2π的函数的傅立叶级数及其收敛性 637
三、周期为2π的函数展开为傅立叶级数 637
四、定义在[-π,π]上的函数展开为傅立叶级数 637
15．2 正弦级数和余弦级数 649
一、正弦级数和余弦级数 649
二、定义在[0,π]上的函数展开为正弦(余弦)级数 649
15．3 周期为2l的周期函数的傅立叶级数 660
16．1 微分方程的基本概念 670
第十六章 微分方程 670
16．2 一阶微分方程 672
一、可分离变量方程和齐次方程 672
二、线性微分方程与贝努里方程 673
三、全微分方程 674
16．3 可降价的高阶微分方程 692
16．4 二阶线性微分方程 698
一、二阶线性微分方程及其解的结构 698
二、二阶常系数线性微分方程 702
三、可化为常系数线性方程的方程——欧拉方程 710
四、幂级数解法与常数变易法 711
16．5 微分方程应用举例 715
一、物理问题应用 715
二、几何问题应用 724
三、微小量分析法应用 729