1 集合与映射 1
1．1 集合及集合的运算 1
1．1．1 集合的概念 1
1．1．2 并集与交集 3
1．1．3 差集与余集 5
1．1．4 积集与投影 7
1．2 映射 8
1．2．1 映射与逆映射 8
1．2．3 映射的延拓与限制 14
1．2．2 映射的图象 14
1．2．4 映射的复合 15
1．2．5 集合的特征函数 16
1．3 集合的基数 16
1．3．1 对等与基数 16
1．3．2 可列集 19
1．3．3 连续点集的基数 20
1．4 顺序关系及等价关系 21
1．4．1 偏序与全序 21
1．4．2 佐恩引理 23
1．5．1 一些基本概念与性质 24
1．5 实(数)直线上的点集 24
1．4．3 等价关系及商集 24
1．5．2 邻域、开集和闭集 28
1．5．3 实(数)直线的完备性 28
1．5．4 有界闭集的列紧性与紧性 30
参考文献 31
2 实变函数论 32
2．1 引言 32
2．1．1 实变函数论的产生 32
2．1．2 建立勒贝格积分的方法 33
2．2．1 有界集合的内测度与外测度 35
2．2 测度论 35
2．2．2 测度的性质 37
2．3 可测函数 39
2．4 勒贝格积分 45
2．4．1 积分的定义与基本性质 45
2．4．2 积分收敛定理 47
2．4．3 富比尼定理 51
2．5 有界变差函数与黎曼-斯蒂尔切斯积分 53
2．5．1 单调函数与有界变差函数 53
2．5．2 黎曼-斯蒂尔切斯积分 56
2．6 绝对连续函数与微分 58
2．7 空间Lp 60
2．8 勒贝格积分的其它定义方法 63
2．8．1 里斯方法 63
2．8．2 基于完备化思想定义勒贝格积分的方法 65
2．9 抽象测度 68
2．9．1 环上的测度 68
2．9．2 测度的扩张 70
2．9．3 可测函数与积分 71
2．9．4 勒贝格-斯蒂尔切斯积分 73
3．1．1 空间结构 75
3．1 集合与空间 75
3 空间结构与抽象空间 75
3．1．2 欧几里得空间 77
3．1．3 酉空间 80
3．2 线性运算 线性空间 81
3．2．1 线性运算 81
3．2．2 线性空间 82
3．2．3 线性子空间 83
3．2．4 线性相关与线性无关 85
3．2．5 维数与基 85
3．3．1 距离 88
3．3 距离 度量空间 88
3．3．2 度量空间 89
3．3．3 开集与闭集 90
3．3．4 聚点与闭包 93
3．3．5 极限与收敛 94
3．3．6 连续映射 95
3．3．7 柯西序列与完备度量空间 97
3．3．8 列紧性与紧性 99
3．3．9 压缩映射与不动点定理 102
3．4．1 范数和半范数 103
3．4 范数 赋范线性空间 103
3．4．2 赋范线性空间 107
3．4．3 强收敛 108
3．4．4 巴拿赫空间 109
3．4．5 连续函数空间 110
3．5 内积 内积空间 112
3．5．1 内积 112
3．5．2 内积空间 113
3．5．3 希尔伯特空间 115
3．5．4 正交与投影 116
3．5．5 正交集 119
3．6．1 拓扑 123
3．6 拓扑 拓扑空间 123
3．6．2 拓扑空间 124
3．6．3 拓扑空间的基本概念与性质 126
参考文献 129
4 线性泛函分析 131
4．1 引言 131
4．2 线性拓扑空间 132
4．2．1 基本概念 132
4．2．2 局部凸空间 134
4．2．3 弗雷歇空间 135
4．3．1 定义与基本性质 137
4．3 有界线性算子 137
4．3．2 有界线性算子空间 139
4．3．3 算子乘法与逆算子 143
4．4 连续线性泛函 144
4．4．1 基本概念与性质 144
4．4．2 连续线性泛函的一般形式 148
4．4．3 凸集分离定理 151
4．5 有界线性算子的基本定理 152
4．6 共轭空间与共轭算子 155
4．6．1 弱收敛与弱收敛 155
4．6．2 自反巴拿赫空间 157
4．6．3 共轭算子 159
4．6．4 无界算子的伴随算子 161
4．7 各类算子 164
4．7．1 酉算子与正规算子 164
4．7．2 自伴算子 165
4．7．3 投影算子 166
4．7．4 全连续线性算子 168
4．7．5 弗雷德霍姆算子 169
4．7．6 希尔伯特-施密特算子 170
4．7．7 拉克斯-米尔格拉姆定理 171
4．8．1 谱的概念与基本性质 172
4．8 线性算子的谱 172
4．8．2 自伴算子的谱 175
4．8．3 全连续算子的谱 179
4．9 算子半群 182
4．9．1 一致连续半群与强连续半群 182
4．9．2 压缩半群与耗散算子 185
4．10 巴拿赫代数 189
4．10．1 概念与例 189
4．10．2 预解集与谱 192
4．10．3 理想与同态 193
4．10．4 交换巴拿赫代数 194
参考文献 196
5 广义函数 197
5．1 引言 197
5．2 检验函数 199
5．3 广义函数 203
5．3．1 定义及例 203
5．3．2 分布的代数运算 206
5．3．3 分布的支集 208
5．3．4 分布序列的收敛 209
5．4 分布导数 212
5．5 一些重要的分布 215
5．6 分布的直积与卷积 223
5．6．1 分布的直积 223
5．6．2 分布的卷积 225
5．6．3 卷积的应用 227
5．7 缓增分布与傅里叶变换 228
5．7．1 速降检验函数 229
5．7．2 缓增分布 230
5．7．3 速降函数的傅里叶变换 232
5．7．1 缓增分布的傅里叶变换 234
5．7．6 某些应用 240
5．7．5 直积与卷积的傅里叶变换 240
5．8 分布的拉普拉斯变换 243
5．8．1 经典函数的拉普拉斯变换 243
5．8．2 分布的拉普拉斯变换 244
5．8．3 变换公式 244
参考文献 245
6 变分法与变分原理 246
6．1 变分法的问题 246
6．1．1 古典变分学问题 246
6．1．2 变分法的内容与意义 249
6．2．1 ∫baF(x，y，y′)dx型不动边界问题 250
6．2 欧拉方程 250
6．2．2 ∫baF(x，y1，…，yn，y1′，…，yn′)dx型不动边界问题 255
6．2．3 ∫baF(x，y，y′，…，y(n))dx型不动边界问题 256
6．2．4 依赖多元函数的泛函 257
6．2．5 可动边界问题 259
6．2．6 条件极值问题 264
6．3 变分问题的直接法 267
6．3．1 欧拉有限差分法 267
6．3．2 里茨法 269
6．3．3 康托罗维奇法 272
6．4．1 二次函数的极值 274
6．4 数学物理中的变分原理 274
6．4．2 能量法 276
6．4．3 虚功原理 280
6．4．4 广义解 283
6．5 里茨-伽辽金方法 287
6．5．1 变分原理常用的近似解法 287
6．5．2 里茨法的应用及伽辽金法 288
6．5．3 里茨-伽辽金法的收敛性 292
6．5．4 里茨法在特征值计算中的应用 295
参考文献 301
7．1 数学模型概述 302
7 数学模型 302
7．1．1 建模的目的和步骤 303
7．1．2 模型的分类 304
7．1．3 系统辨识 305
7．2 建立数学模型的方法 307
7．2．1 初等分析 307
7．2．2 初等概率 310
7．2．3 量纲分析 311
7．2．4 极值分析 314
7．2．5 微分方程 320
7．2．6 马尔可夫链分析 323
7．2．7 冲量过程 326
7．2．8 层次分析 330
7．3 数学模型的应用 335
7．3．1 人口 336
7．3．2 经济 339
7．3．3 社会 342
7．3．4 交通 345
7．3．5 医学 348
7．3．6 生产 350
7．3．7 生态 352
7．3．8 体育 354
8．1．1 不等式的意义 358
8．1．2 常用不等式的类型 358
8 不等式 358
8．1 引言 358
8．1．3 几个特点 359
8．2 几个基本不等式 360
8．2．1 杨不等式 360
8．2．2 关于积分的平均值不等式 363
8．2．3 关于积分的赫尔德不等式 365
8．2．4 关于积分的闵可夫斯基不等式 368
8．3．1 凸函数、单调函数与不等式 370
8．3 与凸函数单调函数有关的不等式 370
8．3．2 有关凸(凹)函数的一些不等式 372
8．3．3 斯梯芬森不等式 377
8．4 有关变分法的一些不等式 378
8．4．1 变分法与不等式 378
8．4．2 包含一阶导数的一类不等式 379
8．4．3 温廷杰不等式 380
8．4．4 包含二阶导数的一类不等式 381
8．4．5 其它不等式 382
8．5 与矩阵有关的一些不等式 383
8．5．1 正定矩阵的一些不等式 383
8．5．2 有关特征值的一些不等式 388
8．5．3 正矩阵的几个不等式 394
8．6 与微分算子有关的—些不等式 396
8．6．1 一阶线性常微分算子 396
8．6．2 二阶及高阶线性常微分算子 399
8．6．3 广义凸性 401
8．6．4 二阶线性偏微分算子 404
8．6．5 几个定理 406
8．6．6 联系函数及其导数的不等式 408
8．6．7 离散情形 410
8．7．1 从多线性型到积分的类似情形 412
8．7 其它不等式 412
8．7．2 希尔伯特不等式及其推广和应用 415
8．7．3 哈代不等式及其类似情形 420
8．7．4 0＜p＜1及两个参数的情形 424
8．7．5 重新排列 426
参考文献 433
9 特殊函数 434
9．1 引言 434
9．2 Γ函数Β函数 436
9．2．1 Γ函数的定义 436
9．2．2 Γ函数的性质 437
9．2．3 Β函数 438
9．3 超几何函数 439
9．3．1 超几何级数和超几何函数 439
9．3．2 广义超几何函数 443
9．3．3 合流超几何函数 447
9．4 贝塞尔函数 448
9．4．1 第一类贝塞尔函数的基本概念 448
9．4．2 整数阶和半奇数阶的第一类贝塞尔函数 450
9．4．3 第二类和第三类贝塞尔函数 453
9．4．4 变型的贝塞尔函数 454
9．4．5 几个图形 455
9．4．6 渐近展开式和零点 456
9．4．7 傅里叶-贝塞尔展开 458
9．4．8 应用举例 460
9．5 正交多项式 463
9．5．1 正交多项式的基本概念 463
9．5．2 正交多项式的基本性质 464
9．5．3 雅可比多项式 466
9．5．4 切比雪夫多项式 469
9．6．1 勒让德多项式的定义 475
9．6 勒让德多项式及有关的函数 475
9．6．2 勒让德多项式的基本性质 478
9．6．3 第二类勒让德函数 480
9．6．4 伴随勒让德函数 481
9．6．5 球面函数 483
9．6．6 应用举例 485
9．7 埃尔米特多项式 486
9．8 拉盖尔多项式 489
9．8．1 广义拉盖尔多项式 489
9．8．2 拉盖尔多项式 493
参考文献 496
10 积分变换 497
10．1 引言 497
10．2 积分变换 497
10．2．1 定义 497
10．2．2 若干重要的积分变换 498
10．3 傅里叶变换 499
10．3．1 傅里叶变换及其反演公式 499
10．3．2 傅里叶变换的性质 500
10．3．3 傅里叶变换及其反演公式存在的条件 502
10．3．4 傅里叶余弦变换与傅里叶正弦变换 504
10．3．5 傅里叶变换表 505
10．4 拉普拉斯变换 509
10．4．1 引言 509
10．4．2 拉普拉斯变换及其反演公式 509
10．4．3 拉普拉斯变换的性质 509
10．4．4 拉普拉斯变换及其反演公式存在的条件 512
10．4．5 拉普拉斯变换的主要公式表 513
10．4．6 拉普拉斯变换表 516
10．5 梅林变换 536
10．5．1 梅林变换及其反演公式 536
10．5．2 梅林变换的性质 538
10．5．3 梅林变换与傅里叶变换的关系 539
10．5．4 梅林变换的重要公式表 540
10．5．5 梅林变换表 541
10．6 汉开尔变换 564
10．6．1 汉开尔变换及其反演公式 564
10．6．2 汉开尔变换表 564
10．6．3 汉开尔变换的推广 566
10．7 斯蒂尔切斯变换及其反演公式 567
10．8．1 魏尔斯特拉斯变换及其反演公式 568
10．8．2 魏尔斯特拉斯变换表 568
10．8 魏尔斯特拉斯变换 568
10．9 勒让德变换及其反演公式 569
10．10 希尔伯特变换及其反演公式 569
10．11 一般积分变换及其反演公式 570
10．11．1 康托洛维奇-列别捷夫变换 570
10．11．2 梅涅尔-福克斯变换 571
10．11．3 列别捷夫变换 571
10．11．4 外姆普变换 571
参考文献 572
11．1 基本概念 573
11．1．1 引言 573
11 摄动方法 573
11．1．2 阶符 574
11．1．3 渐近展开 576
11．1．4 无量纲化 579
11．2 正则摄动法 581
11．3 变形坐标法 587
11．3．1 变形参数法 588
11．3．2 变形坐标法 589
11．3．3 重正化方法 591
11．4．1 匹配法 593
11．4 匹配法 593
11．4．2 合成法 600
11．5 多重尺度法 604
11．5．1 多变量法(导数展开法) 605
11．5．2 双变量展开法 615
11．5．3 推广的多重尺度法 620
参考文献 626
附录 627
特殊函数表 627
中文—外文索引 638
外文—中文索引 661
外国人名表 685