第一章 有限差分 1
1. 各阶差分.差分表 1
2. 计算差分的公式 3
3. 在差分表中误差的分布规律 5
4. 关于有限差分的一些定理 9
作者为中译本所写的序言 11
原序 12
5. 阶乘多项式的差分 12
译者序 13
6. 任一多项式按阶乘多项式的展开 14
7. 零的差分 14
8. 接绩的整数的幂次之和 15
9. 中心差分 16
10. 差分演算的反演算 20
第二章 有限和 20
11. 初等求和法 22
12. 分部求和法 25
第三章 差商 26
13. 定义和记号 26
14. 差商的对称性以及其他性质 29
15. 差商可作为两个行列式的比 29
16. 藉助于积分表示的差商 31
17. 呈复数积分形的差商 33
18. 关于差商的一些定理 34
19. 若干个函数的乘积的差商 35
20. 任一多项式按幂次渐增的一些多项式的展开 38
21. 带有自变量的重复值的差商 39
22. 差商的相继各阶导数 44
23. 带复自变量重复值的差商 45
24. 关于差商和有限差分之间的联系 47
25. 若干个函数乘积的高阶差分 49
第四章 反差商 50
26. 定义和记号 50
27. 将函数展成连分式 52
28. 反差商可当作两个行列式的比 53
29. 反差商的一些性质 57
30. 带自变量重复值的反差商 58
第五章 均匀(最优的)逼近 61
31. 引言 61
32. 维尔斯塔拉斯关于逼近的第一定理 65
33. 维尔斯塔拉斯第二定理 69
34. 关于函数以多项式的最优的逼近 71
35. 契伯舍夫多项式 75
36. 别茵斯坦多项式的一些性质 80
37. 关于被逼近的函数的导数与别茵斯坦逼近多项式间的联系 84
38. 最小偏差递减的快慢 87
第六章 点内插 90
39. 内插的目的 90
40. 对于自变量的不等区间的牛顿公式 95
41. 对于自变量的等距离值的牛顿公式 98
42. 以首二次的多项式的逼近 102
43. 对于复变函数的牛顿公式 103
44. 拉格朗日内插公式 105
45. 内插过程的收敛 107
46. 取决于节的分布的逼近性质 112
47. 新的内插公式 113
48. 高斯内插公式 117
49. 斯蒂尔林内插公式 122
50. 白塞尔公式 125
51. 爱维雷特公式 128
52. 另一些内插公式 129
53. 关于谢巴尔德规则的意见 132
54. 一些实用的指示 134
55. 关于内插公式的误差 136
56. 对剩余项的估计 138
57. 对于以多项式逼近的某些说明 142
58. 欧特肯的线性内插方法 143
59. 纳维利的线性内插方法 146
60. 在自变量的重复值的情形下的线性内插方法 148
61. 函数藉助于连分式的内插 150
62. 带自变量的重复值以反差商的内插 154
63. 三角内插 155
64. 关于三角内插多项式的收敛性 159
65. 带重节的内插 166
66. 一般内插公式 167
67. 一般内插公式的剩余项 169
68. 带重节的另一些内插公式 172
69. 藉助接续各阶导数的内插 174
70. 费页尔内插方法 175
第七章 平方逼近 178
71. 函数按最小二乘法的逼近 178
72. 周期函数藉助于三角多项式的平方逼近 184
73. 藉助于线性无关函数组的逼近表示 188
74. 平方逼近的契伯舍夫公式 191
75. 非线性的依从于一个或几个参数的函数的逼近 200
76. 分段连续函数的逼近 202
77. 用以确定平方逼近的系数的方程组 205
78. 平方误差的计算 208
79. 多个自变量函数的平方逼近 209
第八章 富立叶级数和正交多项式 213
80. 正交函数组 213
81. 以线性无关函数的逼近 217
82. 富立叶级数收敛的性状 220
83. 非周期函数 223
84. 富立叶级数的逐项积分和微分 223
85. 函数以在任意区间内的富立叶级数来表示 226
86. 函数及其导数的间断对系数微小的阶的影响 228
87. 富立叶级数的剩余项的估计 231
88. 由某些多项式衔接而成的函数展成富立叶级数 232
89. 改善三角级数收敛性的克雷洛夫方法 236
90. 例 240
91. 勒让达多项式 245
93. 正交性 247
92. 勒让达微分方程 247
94. 递推公式 248
95. 勒让达多项式的几何性质 249
96. 正规化因式 250
97. 积分表示.生成函数 251
98. Xn(x)的界限 252
99. 按勒让达多项式的展开式 253
100. 在间断点的收敛性 256
101. 勒让达级数的均匀收敛性 258
102. 关于带有变限的积分的计算 259
103. 计算重积分的公式 261
104. 实用调和分析 263
105. 关于依赖于参数的函数的积分的计算 271
106. 多重富立叶级数 274
107. 余弦和正弦的乘积的级数 277
108. 引言 279
第九章 经验公式 279
109. 观察结果的修整 283
110. 图形法 287
111. 平均值法 291
112. 最小二乘法 295
第十章 数学表的扩张 296
113. 关于表的扩张 296
114. 扩表公式 297
第十一章 反内插法 304
115. 反内插问题 304
116. 藉助于逐步逼近的反内插 304
117. 级数的转换 307
118. 反内插公式 309
119. 拉格朗日和布尤尔曼公式 311
120. 戴劳公式的应用 314
第十二章 数值微分法 320
121. 带差分的数值微分公式 320
122. 马尔柯夫公式 322
123. 间隔的缩小 330
124. 差公按阶为渐增的差分的展开式 333
125. 带中心差分的数值微分公式 333
126. 各阶差分和导数之间的相依关系 340
127. 不带差分的公式 342
128. 单侧导数的公式 349
129. 为作不带差分的公式所需的表 350
130. 关于不带差分的公式的附记 357
131. 关于未定系数法 359
第十三章 数值积分法 362
132. 关于积分的近似计算 362
133. 反常积分 368
134. 矩形公式 369
135. 新的内插公式 372
136. 一般的求积公式 375
137. 带奇数个横坐标的闭型求积公式 377
138. 带奇数个横坐标的公式的剩余项 379
139. 带偶数个横坐标的闭型求积公式 384
140. 带偶数个横坐标的公式的剩余项 385
141. 非闭型的求积公式 391
142. 带固定横坐标的求积公式 395
143. 带有在积分区间外的横坐标的求积公式 397
144. 闭型公式的相对准确度 403
145. 以两个算出的结果表出误差 407
146. 例 409
147. 高斯求积公式 412
148. 契伯舍夫求积公式 418
149. 马尔柯夫求积公式 425
150. 别茵斯坦关于求积公式的研究 428
151. 新的求积公式 432
152. 计算求积公式的系数和横坐标的新方法 435
153. 关于合适的利用求积公式的方法 436
154. 斯捷克洛夫关于求积公式的研究 452
155. 斯提尔捷斯积分的计算 456
156. 带差分的求积公式 459
157. 带有在曲折线上的差分的求积公式 464
158. 斯捷克洛夫关于求积公式的收敛性的研究 466
159. 关于反常积分的近似计算 469
160. 带被积函数的导数的求积公式 474
161. 关于待定系数法 480
162. 重积分的近似计算公式 493
163. 关于估计定积分的不等式 496
165. 贝努里多项式 500
第十四章 欧拉求和公式 500
164. 引言 500
166. 贝努里数 503
167. 递推公式 503
168. 贝努里多项式的解析性质 504
169. 贝努里数的性质 505
170. 贝努里多项式的几何性质 507
171. 欧拉公式 509
172. 对定积分的近似计算的应用 512
173. 关于欧拉公式的收敛性 513
174. 欧拉求和公式 517
175. 无穷积分限的情形 519
176. 正的幂次的和的一般公式 520
177. 斯蒂尔林公式 520
178. 奥斯特洛格拉特斯基公式 523
180. 格列高利求和公式 525
第十五章 带差分的求和公式 525
179. 引言 525
181. 拉普拉斯求和公式 526
182. 高斯第一求和公式 528
183. 高斯第二求和公式 530
184. 拉包克求和公式 533
185. 例 535
第十六章 多重求和 540
186. 不同重的和.和的表 540
187. 多重和以函数的值的明显表达式 543
188. 以求和来计算矩 544
189. 多重积分法 547
190. 高斯求和公式的简化 548
191. 不定积分的列表 551
192. 多重积分的求和公式 555
第十七章 多变量函数的内插法 561
193. 二变量函数的内插法 561
194. 二重差分 563
195. 带自变量的等距离值的二重差分 565
196. 带差商的内插公式 567
197. 带二个变量的拉格朗日内插公式 572
198. 三个或多个变量的函数的内插公式 573
199. 带差分的内插公式 575
第十八章 求体积公式 585
200. 引言 586
201. 求积公式的重复应用 587
202. 横截面法 590
203. 反常二重积分 590
204. 可由积分内插公式得到的求体积公式 591
205. 带差分的求体积公式 600
206. 包含被积函数的偏导数的求体积公式 601
207. 在任意域内的二重积分 604
208. 在矩形内的二重积分的近似计算 607
209. 展布在对称域上的二重积分 613
210. 对于圆的求体积公式 614
211. 多重积分的近似公式的作法 618
第十九章 记号演算 621
212. 记号多项式 621
213. 移位算子 622
214. 算子的无穷级数 622
215. 算子演算的应用 624
216. 差分算子与微分算子间的联系 624
217. 通论 625
参考文献 627