第一章 引论、定义及基本概念 1
1.1 微分方程及其定义 1
1.2 常微分方程的解及定解条件 5
1.3 从常微分方程的通解求常微分方程 12
1.4 一些处理微分方程近代理论的常用基本概念及符号 16
习题 20
第二章 一阶一次微分方程 24
2.1 一阶一次微分方程的各种形式及其在力学中的重要性 24
2.2 一阶二次微分方程的几何意义及其应用 27
2.3 恰当微分方程(丙式)的积分法(Ⅰ型) 32
2.4 有关恰当微分方程的解的一些问题 40
2.5 可以化为恰当微分方程的方程及积分因子(Ⅰ型) 49
2.6 可以分离变量的方程及分离变量法(Ⅱ型) 55
2.7 可化为分离变量的微分方程(Ⅳ型) 56
2.8 一阶线性微分方程、变系数法(Ⅴ型) 60
2.9 替代变量法(Ⅵ型) 65
附录 积分因子的存在 67
习题 68
第三章 基本存在及唯一性定理及其应用 79
3.1 数值积分法(欧拉积分法) 79
3.2 基本存在定理 85
3.3 基本存在定理的证明 92
3.4 唯一性定理 100
3.5 数值积分法的改进 106
3.6 有限差分法 114
3.7 皮卡德(Picard)重演近似法和皮卡德存在及唯一性定理 122
3.8 有关参数和初值对解的影响的定理 128
习题 133
第四章 一阶微分方程的奇点和相图分析 136
4.1 一阶一次微分方程的奇点 136
4.2 参数方程 145
4.3 相图及静止点的稳定性 152
4.4 简单线性方程的研究 157
4.5 非线性的参数方程 167
4.6 非线性方程的解的稳定性：李雅普诺夫的第二方法 170
4.7 非线性方程(高次型)的解的稳定性：本狄克生定理 181
4.8 高次型奇点的特性及其例子 186
4.9 无穷远处的解的性质 197
4.10 静止点或奇点的庞加莱指数 200
4.11 高次型奇点的指数 205
4.12 指数定理及其应用 213
4.13 极限环及张弛振动 217
习题 226
第五章 高次一阶方程 232
5.1 能够解出导数y 的高次一阶方程 232
5.2 几种简单类型的高次一阶方程 238
5.3 易于解出x或y的高次一阶方程 242
5.4 F(X，y,y )=0的解的存在及唯一性定理 248
习题 253
第六章 高阶微分方程 255
6.1 高阶微分方程的解的存在及唯一性定理 255
6.2 最简单的n阶微分方程y(n)=f(x)的积分 258
6.3 各种可以降阶的简单类型微分方程 261
习题 269
第七章 高阶线性微分方程 271
7.1 高阶线性微分方程的一般性质 271
7.3 线性微分方程的解的特性 274
7.2 线性微分运算子L的特性 274
7.4 有关线性微分方程降阶的方法 281
7.5 有关线性齐次微分方程求解的问题 289
7.6 恰当方程和积分因子法 290
7.7 变换简化法 298
7.8 已知齐次微分方程的遇解求非齐次微分方程的特解--变系数法 303
习题 309
第八章 常系数线性微分方程 312
8.1 常系数线性微分方程 312
8.2 常系数线性齐次方程的解 313
8.3 可以化为常系数线性微分方程的线性方程 320
8.4 常系数线性非齐次方程的特解--未定系数法 322
习题 326
9.1 运算子D的运算性质 329
第九章 运算子在解常系数微分方程上的应用 329
9.2 运算子多项式的逆运算 331
9.3 常系数非齐次微分方程的特解的一些简化运算 336
9.4 常系数线性微分方程组的解 348
附录 非齐次特解的逆运算表 358
习题 360
第十章 微分方程的级数解法 362
10.1 泰勒级数解法 362
10.2 特定系数法 365
10.3 y =F(x,y)的级数解法的收敛定理及其意义 374
10.4 方程组或高阶方程的级数收敛条件 381
10.5 线性微分方程的级数解法的收敛条件 384
10.6 正则奇点的线性微分方程的解 388
10.7 两项递推公式的二阶线性方程的一般理论 397
10.8 指数方程有重根时的情况 405
10.9 指数方程的根的差值为m的整倍数 407
习题 414
第十一章 特殊函数 421
11.1 引论 421
11.2 γ函数Γ(x)和β函数B(n,m) 422
11.3 γ函数诸关系式及二阶、三阶γ函数 428
11.4 n阶第一类贝塞尔函数Je(x) 434
11.5 n阶第二类贝塞尔函数Yn(x) 443
11.6 贝塞尔方程的一般解及有关问题 450
11.7 第三类贝塞尔函数〔罕克尔(Hankel)函数〕 459
11.8 变态贝塞尔函数In(x),Kn(x) 460
11.9 圆薄板的振动 464
11.10 勒让特方程及勒让特函数 467
11.11 勒让特多项式的母函数 471
11.12 罗德里克(Rodrigues)公式 474
附录A 求欧拉常数γ 477
附录B 证明Ψ (x)的渐近展开式(11.67) 482
习题 482
第十二章 边界值问题及正交函数 485
12.1 边界值问题 485
12.2 杆件纵向振动的特征值问题 489
12.3 二阶方程的一般特征值问题 495
12.4 广义傅立叶级数 499
12.5 傅立叶级数 502
12.6 傅立叶-贝塞尔级数及傅立叶-勒让特级数 508
12.7 广义傅立叶级数的近似性及其收敛条件 512
12.8 利用正交函数级数解常微分方程及偏微分方程 516
12.9 分离变量法 523
习题 525