第一章 预备知识 1
1 度量空间 1
1.1 度量空间的基本概念 1
1.2 连通分支 2
1.3 完备性 2
1.4 紧性 3
1.5 仿紧性与单位分解 3
1.6 Banach空间 4
1.7 Dugundji延拓定理 5
2 有界线性算子的基本理论 5
2.1 有界线性算子、有界线性泛函及共轭空间 5
2.2 弱收敛与弱收敛 6
2.3 Banach逆算子定理 7
2.4 有界线性算子的正则集与谱 7
2.5 全连续线性算子的Riesz—Schauder理论 8
3 Sobolev空间 9
3.1 H older连续函数空间 9
3.2 Wk,p空间 10
3.3 嵌入定理 11
4 二阶椭圆型偏微分方程 12
4.1 古典解与Schauder估计 12
4.2 强解与Lp估计 14
4.3 弱解 15
第二章 非线性映射的基本概念与基本定理 18
1.1 连续性、有界性与泛函的极值 19
1 非线性映射的连续性与有界性 19
1.2 Caratheodory映射 22
2 非线性映射的微分 24
2.1 Gateaux微分与Frechet微分 25
2.2 高阶导数与Taylor公式 35
3 紧连续映射 40
3.1 紧连续映射及其性质 40
3.2 一些例子 44
4 隐函数定理 47
4.1 隐函数定理 48
4.2 反函数定理及其推广 52
4.3 Newton迭代程序 54
5 Banach空间中常微分方程初值问题 58
5.1 局部可解性 59
5.2 一般的Gronwall引理 61
5.3 解的存在极大区间 62
第二章习题 65
第三章 拓扑度理论 67
1 Brouwer度的定义 68
1.1 Sard定理 69
1.2 C2映射的Brouwer度 71
1.3 Brouwer度的定义 78
2 Brouwer度的基本性质 81
2.1 Brouwer度的基本性质 81
2.2 简化定理与乘积公式 84
3 Brouwer不动点定理与Borsuk定理 90
3.1 Brouwer不动点定理 90
3.2 Borsuk定理及其应用 91
4 Leray—Schauder度 95
4.1 全连续场与紧同伦 95
4.2 Leray—Schauder度的定义 97
4.3 Leray—Schauder度的性质 99
4.4 孤立零点的指数 104
5 Leray—Schauder不动点定理与Borsuk定理的推广 108
5.1 Leray—Schauder不动点定理 108
5.2 Borsuk定理的推广 111
5.3 一些例子 112
第三章习题 118
第四章 半序Banach空间与算子方程的正解 120
1 半序Banach空间 120
1.1 锥与半序 121
1.2 正泛函与共轭锥 125
2 增映射与上、下解方法 130
2.1 上、下解与单调迭代 130
2.2 Krein—Rutman定理 132
2.3 上、下解的存在性 138
3 锥映射的拓扑度 141
3.1 锥映射的拓扑度 141
3.2 锥映射拓扑度的性质 143
3.3 多重正解的存在性 150
第四章习题 153
第五章 分歧理论 155
1 分歧的定义与例子 156
2 Lyapunov—Schmidt过程 160
3.1 奇重特征值点的分歧 166
3 奇重特征值点的分歧与渐近歧点 166
3.2 渐近歧点 171
4 大范围分歧定理 173
4.1 Rabinowitz大范围分歧定理 174
4.2 正解的大范围分歧定理 179
第五章习题 182
第六章 变分原理 185
1 极值问题 185
1.1 极值的必要条件 186
1.2 Ekeland变分原理 189
2 形变引理 193
2.1 伪梯度向量场与f的下降流线 195
2.2 (P.S.)条件 197
2.3 形变引理 200
3 极小极大原理及其在半线性椭圆型方程中的应用 204
3.1 极小极大原理 204
3.2 在椭圆型边值问题中的应用 210
4 Z2指标理论 215
4.1 Z2指标 215
4.2 Z2伪指标 221
5 非线性特征值问题与局部分歧 226
5.1 非线性特征值问题 226
5.2 在局部分歧问题中的应用 228
第六章习题 234
参考文献 237
索引 245