第一节 向量概念及其线性运算 1
一、向量的概念 1
第七章 向量代数与空间解析几何 1
二、向量的线性运算 2
三、投影定理 5
习题7-1 7
第二节 空间点的坐标与向量的坐标表示式 7
一、空间直角坐标系 7
二、向量的坐标表示式 9
三、向量的模和方向余弦 11
习题7-2 14
第三节 向量的数量积 15
习题7-3 18
一、向量的向量积 19
第四节 向量的向量积 混合积 19
二、向量的混合积 22
习题7-4 25
第五节 曲面及其方程 26
一、曲面方程的一般概念 26
二、旋转曲面 27
三、柱面 28
习题7-5 30
第六节 平面及其方程 30
一、平面的点法式方程 30
二、平面的一般式方程 32
三、两平面的夹角 34
习题7-6 36
一、空间曲线的一般方程及参数方程 37
第七节 空间曲线及其方程 37
二、空间曲线在坐标面上的投影 39
习题7-7 41
第八节 空间直线及其方程 42
一、空间直线的对称式方程 43
二、两直线的夹角 46
三、直线与平面的夹角 46
四、平面束 49
习题7-8 51
第九节 二次曲面 52
一、椭球面 52
二、抛物面 53
三、双曲面 54
习题7-9 56
第八章 多元函数的微分法及应用 57
第一节 多元函数的基本概念 57
一、多元函数的概念 57
二、多元函数的极限 60
三、多元函数的连续性 64
习题8-1 65
第二节 偏导数与高阶偏导数 66
一、偏导数的概念 66
二、偏导数的计算 67
三、偏导数与连续性的关系 68
四、偏导数的几何意义 69
五、高阶偏导数 69
习题8-2 71
一、链锁规则 72
第三节 多元复合函数的求导法则 72
二、多元函数的微分中值定理 76
习题8-3 77
第四节 隐函数的求导公式 78
一、由方程式确定的隐函数 78
二、由方程组确定的隐函数 81
习题8-4 83
第五节 全微分及其应用 84
一、全微分的定义 84
二、函数可微的条件 85
三、全微分与近似计算 88
四、全微分的形式不变性 89
五、二阶微分 91
习题8-5 92
第六节 偏导数在几何上的应用 93
一、空间曲线的切线和法平面 93
二、曲面的切平面及法线 96
习题8-6 99
第七节 方向导数与梯度 100
一、方向导数 100
二、梯度 102
习题8-7 104
第八节 多元函数的泰勒公式 104
习题8-8 108
第九节 多元函数的极值 109
一、极值的概念 109
二、极值的充分条件和必要条件 110
三、函数极值与最值的求法 113
四、条件极值 114
习题8-9 119
第九章 重积分 121
第一节 二重积分的概念与性质 121
一、二重积分的概念 121
二、二重积分的性质 126
习题9-1 128
第二节 二重积分的计算法 130
一、利用直角坐标计算二重积分 130
习题9-2(1) 139
二、利用极坐标计算二重积分 141
习题9-2(2) 147
三、二重积分换元法 149
习题9-2(3) 155
一、曲面的面积 156
第三节 二重积分的应用 156
二、平面薄片的重心 159
三、平面薄片的转动惯量 161
四、平面薄片对质点的引力 163
习题9-3 164
第四节 三重积分的概念及直角坐标系下的计算方法 166
一、三重积分的概念 166
二、三重积分在直角坐标系下的计算法 167
习题9-4 173
第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 174
一、利用柱面坐标计算三重积分 174
二、利用球面坐标计算三重积分 177
三、三重积分应用举例 180
习题9-5 184
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 188
第十章 曲线积分与曲面积分 188
第一节 对弧长的曲线积分 188
二、对弧长的曲线积分的计算法 192
习题10-1 196
第二节 对坐标的曲线积分 197
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 197
二、对坐标的曲线积分的计算法 201
三、两类曲线积分的关系 208
习题10-2 209
第三节 格林公式及其应用 211
一、格林公式 211
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 215
三、二元函数的全微分求积 219
四、全微分方程 223
习题10-3 225
第四节 对面积的曲面积分 228
一、对面积的曲面积分的概念 228
二、对面积的曲面积分的基本性质 229
三、对面积的曲面积分的计算法 230
习题10-4 233
第五节 对坐标的曲面积分 235
一、对坐标的曲面积分的概念 235
二、对坐标的曲面积分的基本性质 238
三、对坐标的曲面积分的计算法 239
四、两类曲面积分的关系 243
习题10-5 247
一、高斯公式 248
一、线性插值 248
第六节 高斯公式 通量与散度 248
二、通量与散度 254
习题10-6 256
一、斯托克斯公式 258
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 258
二、环流量与旋度 264
习题10-7 266
第十一章 无穷级数 268
第一节 常数项级数的概念与性质 268
一、无穷级数的概念 268
二、级数收敛的必要条件 270
三、级数的性质 271
习题11-1 272
第二节 正项级数及其审敛法 274
习题11-2 280
第三节 任意项级数及其审敛法 282
一、交错级数及其审敛法 282
二、任意项级数审敛法 283
习题11-3 285
第四节 幂级数 286
一、函数项级数的概念 286
二、幂级数及其收敛性 286
三、幂级数的运算 290
习题11-4 293
第五节 函数展开成幂级数 295
一、泰勒级数 295
二、函数展开成幂级数 299
习题11-5 304
第六节 函数的幂级数展开式的应用 305
一、近似计算 306
二、欧拉公式 309
三、微分方程的幂级数解法 310
习题11-6 315
第七节 傅立叶级数 316
一、三角级数 三角函数系的正交性 316
二、傅立叶级数 317
三、奇函数和偶函数的傅立叶级数 324
习题11-7 328
第八节 周期为主2l的周期函数的傅立叶级数 330
习题11-3 335
第十二章 计算方法 337
第一节 基本概念 337
习题12-1 340
第二节 方程求根 341
一、二分法 341
二、牛顿法 343
三、弦截法 346
习题12-2 347
第三节 拉格朗日插值多项式 348
二、抛物插值 350
三、拉格朗日插值多项式 351
四、插值余项 352
五、分段线性插值 355
习题12-3 356
第四节 牛顿插值多项式 357
一、差商 357
二、牛顿插值多项式 358
习题12-4 360
第五节 最小二乘法 361
习题12-5 369
第六节 数值微分 370
一、插值多项式和数值微分 370
二、泰勒公式与数值微分 372
三、外推法 376
习题12-6 378
第七节 数值积分 379
一、牛顿-柯特斯公式 379
二、龙贝格方法 384
三、高斯型求积公式 386
习题12-7 389
第八节 常微分方程数值解 389
一、欧拉方法 390
二、改进欧拉方法 392
三、龙格-库塔方法 393
附录 广义积分与含参变量的积分 396
第一节 广义积分的审敛法 396
一、积分区间为无穷的广义积分的审敛法 396
二、无界函数的广义积分的审敛法 404
第二节 Г-函数与Β-函数 407
一、Г-函数 407
二、Β-函数 410
习题1 414
第三节 含参变量的积分 415
第四节 含参变量的广义积分 423
习题2 427
习题答案 429