序言 1
第一章 复变解析函数 1
1.1 虚数的产生，i的引入 1
1.2 复数及其几何表示 3
1°. 复数概念 3
2°. 复数在平面上的表示 6
3°. 无穷远点 11
4°. 复数在球面上的表示 12
5°. 球极平面投影变换公式 14
习题(1.1) 15
1.3 平面点集 17
1°. 邻域和开集合 18
2°. 凝聚点，孤立点 18
3°. 两集合间的距离、集合的直径 19
4°. B.-W.定理、H.-B.定理 19
5°. Jordan曲线 21
6°. 区域 22
1.4 复变函数 23
1°. 函数概念 24
2°. 极限 27
3°. 连续性 30
4°. 一致连续性 32
1.5 解析函数及C.-R.方程 33
1°. 导数 33
2°. 解析函数 34
3°. C.-R.方程 35
习题(1.2) 40
第二章 初等复变函数 42
2.1 初等代数函数和初等超越函数 43
1°. 代数函数和代数显函数 43
2°. 超越函数和初等超越函数 44
2.2 单叶解析函数 45
2.3 幂函数w=zn与根式函数 45
1°. 幂函数w=zn，n为正整数 45
2°. 根式函数w=？，z≠0，n为大于1的整数 48
3°. 函数w=？ 51
2.4 函数w=？及其反函数 54
2.5 指数函数与对数函数 57
1°. 指数函数ez 57
2°. 对数函数Lnz 60
2.6 三角函数和反三角函数 64
1°. 三角函数 64
2°. 反三角函数 68
3°. 双曲函数与反双曲函数 69
2.7 一般的指数函数和幂函数 71
1°. 任意指数的幂 71
2°. 一般的指数函数az,a≠0 73
3°. 一般的幂函数z?,z≠0,μ是任意的复数 73
习题(2.1) 75
第三章 复变函数积分和Cauchy理论 77
3.1 复变函数积分及其基本性质 77
1°. 复变函数积分概念和基本性质 77
2°. 复变函数积分的计算举例 82
习题(3.1) 85
3.2 Cauchy积分定理 86
1°. Cauchy积分定理及其Goursat证明 87
2°. Cauchy定理(复连通区域的情形) 96
3°. 不定积分 98
4°. 再论对数函数的定义 101
3.3 Cauchy积分公式 104
1°. Cauchy积分公式(边唯一性定理) 104
2°. Cauchy积分公式的推论 107
3°. Cauchy积分公式的推广 108
4°. 最大模原理 109
3.4 高阶导函数的存在 111
1°. 解析函数的无穷可微性 111
2°. Morera定理及Goursat定理 114
3°. Cauchy不等式与Liouville定理 115
4°. 代数基本定理的证明 116
习题(3.2) 117
第四章 解析函数的级数表达式 120
4.1 函数项级数的基本性质 120
1°. 常数项级数 120
2°. 函数项级数的一致收敛性 122
3°. Weierstrass定理 123
4.2 解析函数的幂级数表达式 126
1°. 幂级数和Abel定理 126
2°. 幂级数的收敛半径 127
3°. 幂级数和函数的解析性 129
4°. 解析函数的幂级数展开式和唯一性 130
5°. 解析函数展开成幂级数的方法举例 135
4.3 用多项式逼近函数 138
1°. 解析函数用多项式来逼近 139
2°. 解析函数的封闭性 141
3°. 关于解析函数的等价定义 142
4.4 内部唯一性定理、零点的孤立性 142
1°. 解析函数内部唯一性定理 143
2°. 解析函数零点的孤立性 146
习题(4.1) 148
4.5 解析函数的Laurent级数表达式 151
1°. Laurent级数 151
2°. 解析函数的Laurent展开式 153
3°. 函数在无穷远点的Laurent展开式 157
4.6 解析函数在其孤立奇点邻域内的性质 158
1°. 孤立奇点的分类 158
2°. 解析函数在孤立奇点邻域的性质 160
3°. 有理函数的奇点 165
4.7 整函数与亚纯函数 167
1°. 整函数 167
2°. 亚纯函数 171
习题(4.2) 173
第五章 留数理论与应用 175
5.1 留数基本定理 175
1°. 函数在有限远点的留数 175
2°. 留数基本定理 182
3°. 函数在无穷远点的留数 184
习题(5.1) 186
5.2 围道积分 187
1°. 形如？R(x)dx的积分的计算 188
2°. 形如？R(sinx,cosx)dx的积分的计算 192
3°. 形如？R(x)eimxdx(m>0)的积分的计算 194
5.3 辐角原理、Rouché定理 198
1°. 对数留数 198
2°. 辐角原理 200
3°. Rouché定理 202
4°. Rouché定理的应用 204
习题(5.2) 206
第六章 共形映射 209
6.1 共形映射概念 209
1°. 解析函数的保域性 210
2°. 导函数的模与辐角的几何意义 211
3°. 共形映射概念 213
4°. 共形映射与解析函数之间的关系 214
5°. 第二类共形映射 216
6.2 单叶解析函数的映射性质 219
1°. 共形保域性 219
2°. 反函数的存在及其解析性 220
3°. 几个初等函数所构成的共形映射 223
6.3 Riemann映射定理 226
1°. 共形映射的基本问题 226
2°. Riemann映射定理 227
3°. 边界对应定理 228
6.4 分式线性映射 230
1°. 分式线性映射的共形性 230
2°. 分式线性映射的保圆性和对称点的不变性 233
3°. 唯一确定分式线性映射的条件 236
4°. 某些典型区域的共形映射 239
1)上半平面到上半平面的共形映射 240
2)上半平面到单位圆内部的映射 240
3)单位圆域到单位圆域的共形映射 241
4)圆域△R=｛z:|z|<R｝变到单位圆域△1=｛z:|z|<1｝的共形映射 242
习题(6.1) 245
6.5 简单区域间的共形映射举例 246
1°. 复合映射 246
2°. 简单区域间的共形映射举例 250
习题(6.2) 255
第七章 解析开拓与初等多值函数 257
7.1 解析开拓 258
1°. 解析开拓概念 258
2°. 来自实轴上的解析开拓 261
3°. 解析开拓的幂级数方法 264
4°. 沿连续曲线的解析开拓 266
5°. 奇点和自然边界 267
7.2 对称原理 268
1°. Painlevé原理 268
2°. 对称原理 270
7.3 多角形映射 277
1°. Schwarz-Christoffel公式 277
2°. 两种特殊情况 280
3°. Schwarz-Christoffel公式的证明 282
7.4 初等多值函数 286
1°. 多值函数概念 286
2°. 支点和支割线 288
7.5 Riemann面 290
习题(7.1) 296
第八章 复变函数理论在其他领域上的应用 298
8.1 调和函数 298
1°. 调和函数与解析函数的关系 299
2°. Poisson积分与调和函数的基本性质 301
3°. Laplace方程的边值问题 306
8.2 复变解析函数的物理意义和应用 311
1°. 复势 312
1) 平面场 312
2) 环流量与复速度 313
3) 源(汇)点、涡点 315
4) 复势 316
2°. 共形映射在求流动复势时的作用 317
3°. 飞机翼断面的绕流问题及升力的计算 319
附录Ⅰ 多复变函数 326
1°. 基本定义 326
2°. 多复变解析函数概念 327
3°. Cauchy积分公式 328
4°. 幂级数 329
5°. Taylor级数 331
附录Ⅱ 复数域的函数逼近 334
Ⅱ.1 解析函数的逼近 336
1°. 用有理函数逼近有理函数的逼近 336
2°. Runge定理 340
Ⅱ.2 多项式插值 347