第一章 数值计算引论 1
§1 数值分析研究对象 1
§2 误差来源及种类 1
§3 误差的基本概念 3
3．1 绝对误差和相对误差 3
3．2 有效数字 4
§4 求函数值的误差估计 6
§5 在数值计算中应注意的几个问题 9
习题1 14
第二章 插值法 16
§1 引言 16
§2 拉格朗日插值多项式 18
2．2 拉格朗日(Lagrange)插值多项式 19
2．1 插值基函数 19
2．3 插值多项式的余项 22
2．4 算法与例子 24
§3 逐步线性插值法 25
3．1 列维尔算法 26
3．2 算法与例子 29
§4 差商与牛顿插值多项式 31
4．1 差商(均差)及性质 31
4．2 牛顿插值多项式 32
4．3 算法与例子 35
§5 差分，等距节点插值多项式 39
5．1 差分及性质 39
5．2 牛顿向前插值，向后插值公式 42
§6 埃尔米特插值 45
7．1 高次插值的龙格(Runge)现象 53
§7 分段插值法 53
7．2 分段线性插值 54
7．3 分段三次埃尔米特插值 55
§8 三次样条插值 57
8．1 引言 57
8．2 三次样条插值函数的表达式 60
8．3 三弯矩方程 63
8．4 算法与例子 68
8．5 三次样条插值函数的收敛性 73
§9 B样条函数及性质 73
9．1 半截幂函数 73
9．2 样条函数 74
9．3 B样条函数及性质 76
习题2 84
§1 引言 87
第三章 函数与数据的逼近 87
§2 连续函数空间，正交多项式理论 92
2．1 连续函数空间 92
2．2 正交多项式理论 96
§3 最佳平方逼近 108
3．1 法方程 108
3．2 用多项式作最佳平方逼近 113
3．3 用正交多项式作最佳平方逼近 114
§4 最小二乘逼近 119
4．1 一般的最小二乘逼近 119
4．2 算法与例子 126
4．3 用正交多项式作曲线拟合算法 131
4．4 非线性模型举例 136
§5 用B样条作最小二乘逼近 142
§6 近似最佳一致逼近多项式 145
6．1 函数展开为Chebyshcv级数 147
6．2 拉格朗日插值余项的极小化 151
6．3 泰勒级数的缩减 156
习题3 159
第四章 数值积分与数值微分 162
§1 插值型数值求积公式 162
1．1 一般求积公式及其代数精度 162
1．2 插值型求积公式 163
1．3 Newton-Cotes求积公式 165
1．4 Newton-Cotes求积公式的余项 168
1．5 Newton-Cotes公式的数值稳定性和收敛性 170
§2 Gauss型求积公式 171
2．1 最高代数精度求积公式 171
2．2 Gauss点与正交多项式的联系 173
2．4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性 174
2．3 Gauss求积公式的余项 174
2．5 几个常用的Gauss型求积公式 176
2．6 低阶Gauss型求积公式构造方法 178
§3 复化数值求积公式 180
3．1 复化数值求积法 180
3．2 复化梯形公式 181
3．3 复化Simpson公式 182
3．4 复化求积公式的收敛阶 183
§4 外推方法 184
4．1 外推原理 184
4．2 复化梯形公式余项的渐近展开 185
4．3 Romberg算法 186
4．4 外推法的进一步讨论 187
5．2 自适应算法 189
§5 自适应求积方法 189
5．1 自适应计算问题 189
§6 奇异积分和振荡函数积分的数值方法 191
6．1 奇异积分计算 191
6．2 振荡函数积分的计算 193
§7 二元函数数值积分 195
7．1 矩形域上乘积型求积公式 196
7．2 三角形域上面积坐标积分法 197
§8 数值微分 199
8．1 插值函数法 199
8．2 差分算子近似微分算子法 202
8．3 隐式方法 205
习题4 207
§1 引言 209
第五章 解线性方程组的直接法 209
§2 初等矩阵 211
2．1 初等下三角阵(高斯变换) 212
2．2 初等置换阵 212
2．3 初等反射阵(Householder变换) 213
2．4 平面旋转矩阵(Givens变换) 218
§3 高斯消去法 221
§4 高斯选主元素消去法 229
4．1 完全主元素消去法 230
4．2 列主元素消去法 233
4．3 列主元高斯-约当消去法 235
§5 用直接三角分解法解线性方程组 240
5．1 矩阵的三角分解 240
5．2 不选主元三角分解法 243
5．3 部分选主元三角分解法 246
6．1 对称正定矩阵及性质 249
§6 解对称正定矩阵线性方程组的平方根法 249
6．2 平方根法 252
6．3 改进的平方根法 254
§7 解三对角线方程组的追赶法 258
§8 用直接法解大型带状方程组 262
8．1 用分解法解大型等带宽方程组 262
8．2 用改进平方根法解大型变带宽对称正定方程组 269
§9 向量，矩阵范数，矩阵的条件数 274
9．1 向量，矩阵范数 274
9．2 矩阵的条件数，病态方程组 281
9．3 关于病态方程组解法 287
§10 矩阵的正交分解(QR分解) 292
习题5 299
§1 引言、例子 302
第六章 解大型稀疏线性方程组的迭代法 302
§2 基本迭代法 305
2．1 雅可比(Jacobi)迭代法 306
2．2 高斯-塞德尔迭代法(G-S) 307
2．3 解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛迭代法(SOR) 309
§3 迭代法的收敛性 312
3．1 一阶定常迭代法的基本定理 312
3．2 关于解特殊线性方程组迭代法的收敛性 317
3．3 迭代法收敛速度 323
3．4 分块迭代法 327
§4 梯度法 331
4．1 等价性定理 332
4．2 最速下降法 335
4．3 共轭梯度法(CG) 336
习题6 347
§1 基础知识 349
1．1 非线性方程，非线性方程组 349
第七章 非线性方程(组)数值解法 349
1．2 非线性方程(组)求解的特点 350
1．3 映射的Jacobi阵和F导数 351
1．4 收敛性和收敛阶 352
§2 非线性方程的二分法和插值法 353
2．1 二分法 353
2．2 正割法 355
2．3 抛物线法 357
2．4 反插值法 358
§3 解x＝g(x)的简单迭代法 359
3．1 简单迭代法公式 359
3．2 收敛定理 361
4．1 Aitken加速方法 364
§4 迭代的加速法 364
4．2 Steffenson迭代方法 366
§5 解f(x)＝0的Newton迭代法 367
5．1 Newton迭代公式 367
5．2 Newton法收敛定理 368
5．3 Newton下山法 372
5．4 Newton迭代算法 373
§6 解方程组x=G(x)的简单迭代法 374
6．1 简单迭代法 374
6．2 简单迭代的收敛性 375
§7 解方程组F(x)＝0的Newton法 377
7．1 Newton法迭代公式 378
7．2 收敛定理 378
7．3 Newton下山法 380
7．4 m步Newton法 381
7．5 算法 382
§8 quasi-Newton法 383
8．1 Broyden方法和一般quasi-Newton法 383
8．2 几个秩2 quasi-Newton法 384
习题7 387
第八章 常微分方程数值解法 390
§1 基本概念 390
1．1 常微分方程初值问题的一般解法 390
1．2 初值问题数值解基本概念 392
§2 Eulcr方法 394
2．1 显式Euler方法 394
2．2 隐式Euler方法和梯形方法 396
2．3 预估-校正Euler方法 398
2．4 单步法的局部截断误差、整体截断误差 399
3．1 Taylor方法 402
§3 Taylor方法和Runge-Kutta方法 402
3．2 Runge-Kutta方法的一般形式 403
3．3 常用低阶Runge-Kutta方法 404
3．4 其它Runge-Kutta方法 408
§4 单步法的进一步讨论 409
4．1 收敛性与相容性 409
4．2 稳定性 410
4．3 均匀步长重复Richardson外推法 413
4．4 变步长自动选择 413
§5 Adams方法和一般线性多步法 414
5．1 Adams方法 415
5．2 一般线性多步法 420
§6 线性多步法的收敛性与稳定性 424
6．1 常系数线性差分方程 424
6．2 线性多步法的方法稳定性 426
6．3 数值稳定性 427
§7 一阶方程组初值问题数值方法 429
7．1 数值方法推广到方程组 429
7．2 刚性方程组 431
§8 二阶常微分方程边值问题数值方法 432
8．1 打靶法 433
8．2 有限差分法 433
习题8 435
第九章 矩阵特征值与特征向量计算方法 437
§1 引言 437
§2 幂法及反幂法 442
2．1 幂法 442
2．2 加速方法 447
2．3 反幂法(或逆迭代) 450
§3 豪斯荷尔德方法 454
3．1 正交相似变换约化一般矩阵为上Hessenberg阵 455
3．2 正交相似变换约化对称阵为对称三对角阵 460
§4 QR算法 462
4．1 引言 462
4．2 QR算法及收敛性 463
4．3 带原点位移的QR方法 465
4．4 用单步QR方法计算上Hessenberg阵特征值 467
4．5 稳式对称QR方法 471
§5 计算对称矩阵特征值的Jacobi方法 480
5．1 引言 480
5．2 古典Jacobi方法 481
5．3 Jacobi过关法 489
习题9 490
参考文献 494