第1章 随机变量 1
1. 引言 1
2. 随机变量 2
3. 多变量概率分布 5
4. 数学期望 7
4.1 一个有用的不等式 9
4.2 条件期望 10
5. 矩、方差和协方差 11
5.1. 随机变量线性函数的方差 13
5.2. 随机变量两个线性函数间的协方差 15
5.3. 随机变量乘积的方差 15
5.4. 随机变量的函数的近拟方差 16
5.5. 条件方差和协方差 16
5.6. 相关系数 17
6 Chebyshev不等式和大数定律 18
6.1. Chebyshev不等式 19
6.2. Bernoulli定理 19
6.3. 大数定律 20
6.4. 中心极限定理 22
7 习题 23
第2章 概率生成函数 27
1. 引言 27
2. 一般性质 27
3. 卷积 28
4. 例 30
4.1. 二项分布 30
4.3. 几何分布和负二项分布 31
4.2. Poisson分布 31
5. 连续性定理 34
6. 部分分式展开 36
7. 多变量概率生成函数 37
7.1. 边缘分布的概率生成函数 39
7.2. 条件分布和概率生成函数 40
8. 随机个数的随机变量之和 45
9. 习题 46
第3章 指数型分布和最大似然估计 49
1. 引言 49
2. Gamma函数 49
3. 卷积 51
4. 矩生成函数 52
4.1. 中心极限定理 55
5. 不同分布随机变量之和 56
6. 相继随机变量之和 59
7. 最大似然估计 61
7.1. 最大似然估计的优良性 64
8. 习题 65
第4章 分枝过程、随机游动和破产问题 69
1. 一个简章分枝过程 69
1.1. 消失的概率 71
2. 随机游动和扩散过程 73
2.1. 随机游动 74
2.2. 扩散过程 75
3. 赌徒的破产 78
3.1. 赌局数目的期望值 80
3.2. 在有限次赌博中破产的概率 81
4. 习题 85
第5章Markov链 88
1. 引言 88
2. Markov链的定义和转移的概率 89
3. 高阶转移概率Pis(n) 94
4. 状态的分类 97
5. Pis(n)的渐近性质 102
6. 闭状态集和不可约链 105
7. 平稳分布 110
8. 一个遗传学应用 112
8.1. 各有两个等位基因的两个位点 120
9. 习题 121
2. 随机矩阵P的特征值和一个有用的引理 125
1. 引言 125
第6章 有限Markov链的代数处理 125
2.1. 一个有用的引理 128
3. 高阶转移概率的公式 131
4. 极限概率分布 135
5. 例 138
6. 习题 148
第7章 更新过程 151
1. 引言 151
2. 离散时间更新过程 154
2.1. 更新过程和事件的分类 154
2.2. E的发生概率 157
2.3. {f(n)}和{P(n)}的概率生成函数 160
2.4. 应用于随机游动 160
2.5 延迟更新过程 163
3 连续时间更新过程 164
3.1. 某些特定分布 166
3.2. 在时间区间(O,t］内的更新次数 173
3.3. 更新函数和更新密度 176
3.4 示例 177
4 习题 180
第8章 人口增长的若干随机模型 182
1. 引言 182
2. Poisson过程 182
2.1. 概率生成函数方法 184
2.2. Poisson过程的某些推广 185
3. 单纯增殖过程 187
3.1. Yule过程 189
3.2. 时变Yule过程 191
3.3. 时变Yule过程中的联合分布 193
4. Yoye过程 195
5. 单纯死亡过程 198
6. 移民过程 201
6.1. 一个简单的迁入-迁出过程 201
6.1.1. 另一种推导 204
7. 附录-一阶常微分方程 205
7.1. 常微分方程 205
7.2. 偏微分方程 209
7.2.1. 预备知识 210
7.2.2. 辅助方程 212
7.2.3. 通解 213
8. 习题 215
1. 引言 219
第9章 一般增殖过程、一个等式和一个流行病模型 219
2. 一般的增殖过程 226
3. 随机过程中的一个等式 226
4. 一个简单的随机流行病模型-McKendrick模型 230
4.1. 概率P1.n(O,t)的解 231
4.2. 感染时间和一次流行期 233
5. 习题 236
第10章 生-死过程和排队过程 239
1. 引言 239
2. 线性增长 240
3. 时变的一般生-死过程 244
4. 排队过程 246
4.1. M/M/S排队的微分方程 248
4.2. M/M/1排队 249
4.2.1. 队伍的长度 250
4.2.2. 服务时间和等待时间 251
4.2.3. 间隔时间和流动强度 255
4.3. M/M/S排队 255
4.3.1. 队伍的长度 257
4.3.2. 服务时间和等待时间 257
5. 习题 260
第11章 简单的疾病-死亡过程-Fix-Neyman过程 264
1. 引言 264
2. 健康转移概率Pαβ(O，t)和死亡转移概率Qασ(O，t) 266
3. Chapman-Kolmogorov方程 271
4. 期望逗留期 273
5. 在健康状态和死亡状态的人口数 274
5.1. 极限分布 277
6. 人口数的生成函数 278
7. 生存和疾病的阶段 282
7.1. 生存时间和分布 284
7.2. 最大似然估计 290
8. 习题 293
第12章 简单疾病--死亡过程中的多重转移概率 299
1. 引言 299
2. 恒等式和多重转移概率 300
2.1. 多重到达概率P？(O，t)的公式 302
2.2. 三个等式 303
2.3. P？(O,t)公式的归纳法证明 304
2.4. 多重更新概率P？(O,t)的公式 305
3. 微分方程和多重转移概率 306
4. 概率生成函数 307
4.1. 多重转移概率 309
4.2. 公式的等价性 311
5. 随机恒等式的证明 311
6. Chapman-Kolmogorov方程 313
7. 转移次数的条件概率分布 316
8. 向死亡的多重转移 317
9. 多重进入转移概率P？(O,t) 317
10. 习题 319
第13章 简单疾病-死亡过程的多重转移时间--交替更新过程 325
1. 引言 325
2. 多重转移时间和密度函数 326
3. 多重转移时间的卷积 328
4. 多重转移时间的分布函数 330
4.1. 第m次更新时间的分布函数 332
4.2. 第m次到达时间的分布函数 334
5. 生存时间 336
6. 二状态随机过程 338
6.1. 多重转移概率 339
6.2. 多重转移时间 340
6.3. 更新次数和更新时间 341
7. 习题 345
第14章 Kolmogorov微分方程和有限Markov过程 352
1. Markov过程和Chapman-Kolmogorov方程 352
1.1. Chapman- Kolmogorov方程 353
2. Kolmogorov微分方程 354
2.1. Kolmogorov微分方程的推导 355
2.2. 例 358
3. 矩阵、特征值和对角化 359
3.1. 特征值和特征向量 362
3.2. 矩阵的对角化 364
3.3. 一个有用的引理 365
3.4. 特征向量矩阵 366
4. Kolmogorov微分方程解的明显表达式 370
4.1. 强度矩阵V及其特征值 372
4.2. 个体转移概率P？(O，t)的第一个解 373
4.3. 个体转移概率P？(O，t)的第二个解 376
4.4. 两个解的等价性 379
4.5. Chapman- Kolmogorov方程 380
4.6. 极限概率 380
5. 习题 381
1. 引言 388
2. 个体转移概率的第一个解 388
第15章Kolmogorov微分方程和有限Markov过程--续 388
3. 个体转移概率的第二个解 392
4. 习题 400
第16章 一般疾病-死亡过程 402
1. 引言 402
2. 转移概率 404
2.1. 健康转移概率Pαβ(O，t) 404
2.2. 向死亡的转移概率Qασ(O，t) 406
2.3. 关于转移概率的一个等式 408
2.4. 极限转移概率 410
2.5. 在健康和死亡状态的期望逗留期 411
2.6. 处于健康状态和死亡状态的人口数 412
3. 多重转移概率 414
3.1. 多重退出转移概率P？(O，t) 415
3.2. 向死亡的多重转移概率Q? (O，t) 418
3.3. 多重进入转移概率P？(O，t) 419
4. 年度健康指数 420
5. 习题 424
第17章 移民过程和增殖-疾病-死亡过程 426
1. 引言 426
2. 迁出-迁入过程--Poisson-Markov过程 428
2.1. 第一种方法 429
2.2. 第二种方法 433
2.2.1. 概率生成函数的微分方程 433
2.2.2. 概率生成函数的解 435
3. 增殖-疾病-死亡过程 442
4. 习题 444
参考文献 446
索引 450