第一章 约束力学系统运动方程的Lie代数结构 1
1.1 代数基本概念 1
1.2 Lagrange系统和Hamilton系统的代数结构 3
1.2.1 Lagrange系统的运动方程 3
1.2.2 Hamilton系统的运动方程 5
1.2.3 系统的代数结构 7
1.2.4 系统的Poisson理论 9
1.2.5 算例 9
1.3 特殊非完整系统运动方程的代数结构 12
1.3.1 特殊非完整系统的运动方程 12
1.3.3 特殊非完整系统的Poisson理论 15
1.3.2 特殊非完整系统运动方程的代数结构 15
1.3.4 算例 16
1.4 Poincaré-Chetaev方程的代数结构 20
1.4.1 Poincaré-Chetaev方程 20
1.4.2 Poincaré-Chetaev方程的代数结构 23
1.4.3 Poincaré-C1hetaev方程的Poisson理论 24
1.4.4 算例 25
1.5 广义经典力学系统的代数结构 30
1.5.1 广义经典力学的方程 30
1.5.2 广义经典力学系统方程的代数结构 31
1.5.3 广义经典力学的Poisson理论 32
1.5.4 算例 32
1.6.1 广义Poisson括号 34
1.6 广义Hamilton系统的代数结构 34
1.6.2 广义Hamilton系统的运动方程 35
1.6.3 广义Hamilton系统的Poisson理论 35
1.6.4 算例 36
1.6.5 Nambu力学 38
1.7 自治和半自治Birkhoff系统的代数结构 39
1.7.1 Birkhoff方程 40
1.7.2 自治和半自治Birkhoff系统的代数结构 41
1.7.3 自治和半自治Birkhoff系统的Poisson理论 42
1.7.4 算例 44
习题 46
参考文献 47
第二章 约束力学系统运动方程的Lie容许代数结构 49
2.1 一般完整力学系统的代数结构 49
2.1.1 运动方程的逆变代数形式 49
2.1.2 方程具有相容代数结构 50
2.1.3 方程具有Lie代数结构的条件 51
2.1.4 方程具有Lie容许代数结构 51
2.1.5 系统的Poisson理论 52
2.1.6 算例 54
2.2 Chaplygin方程的代数结构 56
2.2.1 Chaplygin方程的两种形式 57
2.2.2 Chaplygin方程的代数表示 58
2.2.3 Chaplygin方程的Poisson理论 63
2.2.4 算例 64
2.3 一般非完整力学系统的代数结构 67
2.3.1 一般非完整系统的运动方程 67
2.3.2 运动方程的代数结构 68
2.3.3 系统的Poisson理论 69
2.3.4 算例 70
2.4 非自治Birkhoff系统的代数结构 73
2.4.1 非自治Birkhoff系统的运动方程 73
2.4.2 非自治Birkhoff系统的代数结构 74
2.4.3 非自治Birkhoff系统的Poisson理论 75
2.4.4 算例 76
2.5.1 约束Birkhoff系统的运动方程 77
2.5 约束Birkhoff系统的代数结构 77
2.5.2 约束Birkhoff系统的代数结构 80
2.5.3 约束Birkhoff系统的Poisson理论 82
2.5.4 算例 84
习题 88
参考文献 89
第三章 约束力学系统的Noether对称性（Ⅰ） 90
3.1 Hamilton作用量与Noether对称性 90
3.1.1 Hamilton作用量的变分 91
3.1.2 Noether对称变换，准对称变换和广义准对称变换 92
3.1.3 Killing方程 96
3.1.4 算例 98
3.2 Lagrange系统的Noether理论 101
3.2.1 Lagrange系统的运动方程 101
3.2.2 Lagrange系统的Noether定理 102
3.2.3 Lagrange系统的Noether逆定理 103
3.2.4 力学中基本守恒定律的推导 105
3.2.5 算例 106
3.3 Hamilton系统的Noether理论 113
3.3.1 相空间中Hamilton作用量的变分 113
3.3.2 相空间中Noether对称变换，准对称变换和广义准对称变换 114
3.3.3 Killing方程 117
3.3.4 Hamilton系统的Noether定理 119
3.3.5 Hamilton系统的Noether逆定理 120
3.3.6 算例 121
3.4 广义坐标下一般完整系统的Noether理论 125
3.4.1 系统的运动方程 126
3.4.2 广义Noether定理 126
3.4.3 广义Noether逆定理 127
3.4.4 算例 128
3.5 准坐标下一般完整系统的Noether理论 132
3.5.1 准坐标下Hamilton作用量的变分 132
3.5.2 Noether对称变换、准对称变换和广义准对称变换 134
3.5.3 广义Killing方程 139
3.5.4 Noether定理 141
3.5.5 Noether逆定理 142
3.5.6 算例 143
3.6 有多余坐标完整系统的Noether理论 146
3.6.1 有多余坐标完整系统的运动方程 147
3.6.2 有多余坐标时Hamilton作用量的变分 147
3.6.3 有多余坐标时的对称变换、准对称变换和广义准对称变换 148
3.6.4 有多余坐标系统的广义Noether定理 151
3.6.5 有多余坐标系统的广义Noether逆定理 152
3.6.6 算例 153
3.7 变质量完整系统的Noether理论 155
3.7.1 变质量完整系统的运动方程 155
3.7.2 变质量完整系统的广义准对称变换 156
3.7.3 广义Killing方程 157
3.7.4 广义Noether定理 158
3.7.5 广义Noether逆定理 159
3.7.6 算例 160
3.8 事件空间完整系统的Noether理论 162
3.8.1 事件空间中完整系统的运动方程 162
3.8.2 事件空间中Hamilton作用量的变分 163
3.8.3 事件空间中对称变换、准对称变换和广义准对称变换 164
3.8.4 广义Killing方程 167
3.8.5 广义Noether定理 168
3.8.6 广义Noether逆定理 169
3.8.7 算例 170
3.9.1 相对运动动力学方程 172
3.9 相对运动动力学系统的Noether理论 172
3.9.2 相对运动动力学的广义Noether定理 173
3.9.3 相对运动动力学的广义Noether逆定理 174
3.9.4 算例 176
3.10 Chetaev型非完整系统的Noether理论 178
3.10.1 Chetaev型非完整系统的运动方程 178
3.10.2 相应完整系统的Noether理论 179
3.10.3 非完整系统的广义Noether定理 179
3.10.4 非完整系统的广义Noether逆定理 181
3.10.5 非完整系统与相应完整系统的Noether对称性 182
3.10.6 算例 183
3.11.1 非Chetaev型非完整系统的运动方程 189
3.11 非Chetaev型非完整系统的Noether理论 189
3.11.2 相应完整系统的Noether理论 190
3.11.3 非完整系统的广义Noether定理 191
3.11.4 非完整系统的广义Noether逆定理 192
3.11.5 非完整系统与相应完整系统的Noether对称性 193
3.11.6 算例 194
习题 196
参考文献 198
第四章 约束力学系统的Noether对称性（Ⅱ） 200
4.1 Pfaff作用量与Noether对称性 200
4.1.1 Pfaff作用量的变分 200
4.1.2 对称变换，准对称变换和广义准对称变换 202
4.1.3 广义Killing方程 206
4.1.4 算例 207
4.2 自由Birkhoff系统的Noether理论 210
4.2.1 自由Birkhoff系统的运动方程 210
4.2.2 广义Noether定理 210
4.2.3 广义Noether逆定理 211
4.2.4 算例 213
4.3 约束Birkhoff系统的Noether理论 217
4.3.1 约束Birkhoff系统的运动方程 217
4.3.2 相应自由系统的Noether理论 218
4.3.3 约束Birkhoff系统的广义Noether定理 219
4.3.4 约束Birkhoff系统的广义Noether逆定理 220
4.3.6 算例 222
4.3.5 约束Birkhoff系统与相应自由Birkhoff系统的对称性 222
习题 226
参考文献 227
第五章 约束力学系统的Noether对称性（Ⅲ） 228
5.1 微分变分原理 228
5.1.1 D Alembert-Lagrange原理 228
5.1.2 Jourdain原理 229
5.1.3 Gauss原理 230
5.1.4 万有D Alembert原理 230
5.2 非等时变分 231
5.2.1 Lagrange非等时变分 232
5.2.2 Jourdain非等时变分 233
5.2.3 Gauss非等时变分 234
5.2.4 Dolaptchiew非等时变分 235
5.3 基于D Alembert-Lagrange原理的守恒量 237
5.3.1 D Alembert-Lagrange原理不变性条件 237
5.3.2 完整系统的守恒量 238
5.3.3 非完整系统的守恒量 240
5.3.4 算例 242
5.4 基于Jourdain原理的守恒量 246
5.4.1 Jourdain原理不变性条件 246
5.4.2 完整系统的守恒量 247
5.4.3 非完整系统的守恒量 247
5.4.4 算例 250
5.5.1 Gauss原理不变性条件 254
5.5 基于Gauss原理的守恒量 254
5.5.2 完整系统的守恒量 255
5.5.3 非完整系统的守恒量 256
5.5.4 算例 257
5.6 基于万有D Alembert原理的守恒量 260
5.6.1 万有D alembert原理不变性条件 260
5.6.2 完整系统的守恒量 260
5.6.3 非完整系统的守恒量 261
5.6.4 算例 262
习题 263
参考文献 264
6.1.1 Pfaff-Birkhoff-D Alembert原理的建立 266
6.1 Pfaff-Birkhoff-D Alembert原理 266
第六章 约束力学系统的Noether对称性（Ⅳ） 266
6.1.2 Pfaff-Birkhoff-D Alembert原理的应用 267
6.1.3 Pfaff-Birkhoff-D Alembert原理与D Alemtert-Lagr-ange原理 267
6.2 非等时变分 268
6.2.1 等时变分 269
6.2.2 非等时变分 269
6.2.3 无限小变换的生成元 269
6.3 Pfaff-Birkhoff-D Alembert原理的不变性条件 270
6.3.1 用生成元表示的等时变分 270
6.3.2 Pfaff-Birkhoff-D Alembert原理的变形 270
6.4.1 守恒量的存在条件和形式 271
6.4 自由BirKhoff系统的守恒量 271
6.4.2 广义Killing方程 272
6.4.3 算例 273
6.5 约束Birkhoff系统的守恒量 276
6.5.1 约束对生成元的限制条件 276
6.5.2 相应自由系统的守恒量 276
6.5.3 约束Birkhoff系统的守恒量 277
6.5.4 算例 277
习题 279
参考文献 280
7.1 Lie变换群和无限小变换 281
7.1.1 Lie变换群 281
第七章 完整约束力学的Lie对称性 281
7.1.2 无限小变换 283
7.1.3 多参数Lie变换群和Lie代数 286
7.2 常微分方程的不变性 290
7.2.1 一阶常微分方程的不变性 290
7.2.2 二阶常微分方程的不变性 296
7.3 Lagrange系统的Lie对称性 303
7.3.1 Lagrange系统的运动方程 303
7.3.2 无限小变换与生成元 303
7.3.3 微分方程不变性的无限小判据 304
7.3.4 系统的结构方程和守恒量 306
7.3.5 Lie对称性逆问题 307
7.3.6 算例 309
7.4 Hamilton系统的Lie对称性 319
7.4.1 Hamilton方程 319
7.4.2 变换群与生成元 319
7.4.3 Lie对称性的确定方程 320
7.4.4 结构方程与守恒量 320
7.4.5 Lie对称性逆问题 321
7.4.6 算例 323
7.5 广义坐标下一般完整系统的Lie对称性 326
7.5.1 系统的运动方程 326
7.5.2 无限小群变换与Lie对称性确定方程 327
7.5.3 结构方程与守恒量 328
7.5.4 Lie对称性逆问题 329
7.5.5 算例 330
7.6 准坐标下一般完整系统的Lie对称性 333
7.6.1 系统的运动方程 333
7.6.2 无限小变换与生成元 334
7.6.3 Lie对称性的确定方程 334
7.6.4 结构方程与守恒量 335
7.6.5 Lie对称性逆问题 336
7.6.6 算例 337
7.7 有多余坐标完整力学系统的Lie对称性 341
7.7.1 系统的运动方程 341
7.7.2 无限小群变换和确定方程 342
7.7.3 限制方程 343
7.7.4 结构方程与守恒量 344
7.7.5 Lie对称性逆问题 345
7.7.6 算例 347
7.8 变质量完整力学系统的Lie对称性 349
7.8.1 系统的运动方程 349
7.8.2 无限小变换与确定方程 350
7.8.3 结构方程与守恒量 351
7.8.4 Lie对称性逆问题 352
7.8.5 算例 354
7.9 事件空间中完整力学系统的Lie对称性 356
7.9.1 系统的运动方程 356
7.9.2 无限小群变换和Lie对称性确定方程 358
7.9.3 结构方程与守恒量 360
7.9.4 Lie对称性逆问题 360
7.9.5 算例 361
7.10 相对运动动力学系统的Lie对称性 364
7.10.1 相对运动动力学方程 364
7.10.2 无限小群变换与确定方程 365
7.10.3 结构方程与守恒量 366
7.10.4 Lie对称性逆问题 367
7.10.5 算例 368
7.11 奇异Lagrange系统的Lie对称性 370
7.11.1 奇异Lagrange系统的运动方程 370
7.11.2 无限小群变换，确定方程和限制方程 371
7.11.3 结构方程与守恒量 372
7.11.4 Lie对称性逆问题 373
7.11.5 算例 374
习题 377
参考文献 378
第八章 非完整约束力学系统的Lie对称性 380
8.1 广义坐标下一般非完整系统的Lie对称性 380
8.1.1 一般非完整系统广义坐标中的方程 380
8.1.2 无限小群变换与Lie对称性确定方程 381
8.1.3 限制方程和附加限制方程 382
8.1.4 结构方程与守恒量 383
8.1.5 Lie对称性逆问题 384
8.1.6 算例 385
8.2 准坐标下非完整系统的Lie对称性 390
8.2.1 系统的运动方程 390
8.2.2 无限小群变换和Lie对称性确定方程 392
8.2.3 限制方程和附加限制方程 392
8.2.4 结构方程和守恒量 393
8.2.5 Lie对称性逆问题 394
8.2.6 算例 396
8.3 变质量非完整系统的Lie对称性 399
8.3.1 系统的运动方程 399
8.3.2 无限小群变换与确定方程 400
8.3.4 结构方程与守恒量 401
8.3.3 限制方程和附加限制方程 401
8.3.5 Lie对称性逆问题 403
8.3.6 算例 404
8.4 事件空间非完整系统的Lie对称性 407
8.4.1 系统的运动方程 407
8.4.2 无限小群变换与确定方程 410
8.4.3 限制方程和附加限制方程 411
8.4.4 结构方程与守恒量 412
8.4.5 Lie对称性逆问题 414
8.4.6 取某坐标作为参数的情形 415
8.4.7 算例 416
8.5 非完整系统相对运动动力学的Lie对称性 422
8.5.1 非完整系统相对运动动力学方程 422
8.5.2 无限小群变换与确定方程 423
8.5.4 结构方程与守恒量 424
8.5.3 限制方程和附加限制方程 424
8.5.5 Lie对称性逆问题 425
8.5.6 算例 427
8.6 高阶非完整系统的Lie对称性 429
8.6.1 系统的运动方程 429
8.6.2 无限小群变换与确定方程 431
8.6.3 限制方程和附加限制方程 432
8.6.4 结构方程与守恒量 433
8.6.5 Lie对称性逆问题 434
8.6.6 算例 435
8.7.1 系统的运动方程 438
8.7 非Chetaev型非完整系统的Lie对称性 438
8.7.2 无限小群变换与确定方程 439
8.7.3 限制方程和附加限制方程 440
8.7.4 结构方程与守恒量 440
8.7.5 Lie对称性逆问题 441
8.7.6 算例 442
8.8 具有可积微分约束系统的Lie对称性 445
8.8.1 可积一阶微分约束系统的Lie对称性 446
8.8.2 可积二阶微分约束系统的Lie对称性 452
习题 457
参考文献 458
9.1.1 自由Birkhoff系统的运动方程 459
第九章 Birkhoff系统的Lie对称性 459
9.1 自由Birkhoff系统的Lie对称性 459
9.1.2 无限小群变换与确定方程 460
9.1.3 结构方程与守恒量 461
9.1.4 Lie对称性逆问题 463
9.1.5 算例 464
9.2 约束Birkhoff系统的Lie对称性 466
9.2.1 约束Birkhoff系统的运动方程 467
9.2.2 确定方程、限制方程和附加限制方程 468
9.2.3 结构方程与守恒量 469
9.2.4 Lie对称性逆问题 470
9.2.5 算例 471
习题 474
参考文献 475
第十章 约束力学系统Noether对称性与Lie对称性的关系 476
10.1 Lagrange系统的Noether对称性与Lie对称性 476
10.1.1 Lagrange系统的Noether对称性 476
10.1.2 Lagrange系统的Lie对称性 478
10.1.3 Lagrange系统Noether对称性与Lie对称性的关系 478
10.1.4 算例 479
10.2 Hamilton系统的Noether对称性与Lie对称性 481
10.2.1 Hamilton系统的Noether对称性 481
10.2.2 Hamilton系统的Lie对称性 482
10.2.4 算例 483
10.2.3 Hamilton系统Noether对称性与Lie对称性的关系 483
10.3 一般完整系统的Noether对称性与Lie对称性 485
10.3.1 一般完整系统的Noether对称性 485
10.3.2 一般完整系统的Lie对称性 486
10.3.3 一般完整系统Noether对称性与Lie对称性的关系 487
10.3.4 算例 488
10.4 非完整系统的Noether对称性与Lie对称性 489
10.4.1 非完整系统的Noether对称性 489
10.4.2 非完整系统的Lie对称性 490
10.4.3 非完整系统Noether对称性与Lie对称性的关系 491
10.4.4 算例 492
l0.5.1 自由Birkhoff系统的Noether对称性 496
10.5 自由Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性 496
10.5.2 自由Birkhoff系统的Lie对称性 497
10.5.3 自由Birkhoff系统Noether对称性与Lie对称性的关系 498
10.5.4 算例 498
10.6 约束Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性 500
10.6.1 约束Birkhoff系统的Noether对称性 500
10.6.2 约束Birkhoff系统的Lie对称性 502
10.6.3 约束Birkhoff系统Noether对称性与Lie对称性的关系 503
10.6.4 算例 503
习题 506
参考文献 507
名词索引 508