第一章 行列式 1
1 行列式的概念 1
一、排列和逆序数 1
二、二阶与三阶行列式 2
三、n阶行列式 3
2 行列式的性质 5
一、排列的对换 5
二、行列式的性质 6
3 行列式的展开定理 10
4 克莱姆法则 13
5 拉普拉斯定理与行列式的乘法 15
一、拉普拉斯定理 15
二、行列式的乘法 17
习题一 17
阅读材料1：连加号“∑”与连乘号“П” 19
第二章 n维向量 22
1 n维向量的定义和运算 22
一、n维向量的定义 22
二、向量的加法 23
三、向量的数量乘法 24
2 向量的线性相关性 25
一、线性相关性 25
二、极大线性无关组和秩 31
3 向量的内积 34
一、内积及其性质 34
二、长度、距离和夹角 35
三、正交向量组 37
习题二 39
阅读材料2：数域和数环 40
第三章 矩阵 42
1 矩阵的基本概念 42
2 矩阵的基本运算 44
一、矩阵的加法 44
二、数与矩阵相乘 44
三、矩阵与矩阵相乘 45
四、矩阵的转置 47
五、关于方阵的两个问题 48
3 逆矩阵 50
一、逆矩阵的定义及性质 50
二、方阵A可逆的充要条件 51
4 矩阵的初等变换与初等矩阵 54
一、矩阵的初等变换 54
二、初等矩阵 58
三、用初等变换求逆阵 60
5 矩阵的秩 61
6 分块矩阵 65
一、分块矩阵的概念 65
二、分块矩阵的运算 66
三、两种特殊分块及其应用 69
习题三 71
阅读材料3：分块矩阵的初等变换及其应用 74
第四章 线性方程组 77
1 基本概念 77
一、线性方程组的三种表示形式 77
二、解与解集 78
三、有解判别条件 78
2 齐次线性方程组 79
一、齐次线性方程组解的讨论 79
二、向量组的极大线性无关组的求法 83
3 非齐次线性方程组 84
习题四 87
阅读材料4：无解线性方程组的最小二乘解 90
第五章 方阵的特征值和特征向量 93
1 定义与求法 93
一、定义和基本性质 93
二、特征值和特征向量的求法 94
2 方阵的相似关系和对角化问题 98
一、相似关系的定义与性质 98
二、相似对角化及其应用 98
3 实对称矩阵的正交对角化 100
一、正交矩阵 100
二、实对称矩阵的正交对角化 101
习题五 104
阅读材料5：若当（Jordan）标准形介绍 106
第六章 二次型 109
1 二次型及其矩阵表示 109
2 标准形及其求法 112
一、配方法 112
二、初等变换法（也称为合同变换法） 114
三、正交变换法 116
3 正定二次型和正定矩阵 119
习题六 121
阅读材料6：正定二次型及其他 122
第七章 线性空间与线性变换 124
1 线性空间的基本概念 124
一、线性空间的定义和基本性质 124
二、子空间及其充要条件 126
2 基与坐标 127
一、基与维数 127
二、坐标 128
三、同构 130
3 基变换与坐标变换 130
一、过渡矩阵 130
二、坐标变换公式 131
4 线性变换 134
一、定义与例子 134
二、基本性质 135
5 线性变换的矩阵 136
一、定义与例子 136
二、同一线性变换关于不同基的矩阵 139
三、线性变换的秩和零度 140
习题七 140
阅读材料7：集合与映射 142
习题参考答案 144
自我检测题 154
主要参考文献 189