第1章 几何和复算术 1
1.1 引言 1
1.1.1 历史的概述 1
1.1.2 庞贝利的“奇想” 3
1.1.3 一些术语和记号 5
1.1.4 练习 6
1.1.5 符号算术和几何算术的等价性 7
1.2 欧拉公式 8
1.2.1 引言 8
1.2.2 用质点运动来论证 9
1.2.3 用幂级数来论证 10
1.2.4 用欧拉公式来表示正弦和余弦 12
1.3 一些应用 12
1.3.1 引言 12
1.3.2 三角 13
1.3.3 几何 14
1.3.4 微积分 17
1.3.5 代数 19
1.3.6 向量运算 24
1.4 变换与欧氏几何 26
1.4.1 克莱因眼中的几何 26
1.4.2 运动的分类 30
1.4.3 三反射定理 32
1.4.4 相似性与复算术 34
1.4.5 空间复数 37
1.5 习题 39
第2章 作为变换看的复函数 47
2.1 引言 47
2.2 多项式 49
2.2.1 正整数幂 49
2.2.2 回顾三次方程 50
2.2.3 卡西尼曲线 51
2.3 幂级数 54
2.3.1 实幂级数的神秘之处 54
2.3.2 收敛圆 57
2.3.3 用多项式逼近幂级数 60
2.3.4 唯一性 61
2.3.5 对幂级数的运算 62
2.3.6 求收敛半径 64
2.3.7 傅里叶级数 67
2.4 指数函数 69
2.4.1 幂级数方法 69
2.4.2 这个映射的几何意义 70
2.4.3 另一种方法 71
2.5 余弦与正弦 73
2.5.1 定义与恒等式 73
2.5.2 与双曲函数的关系 74
2.5.3 映射的几何 76
2.6 多值函数 78
2.6.1 例子：分数幂 78
2.6.2 多值函数的单值支 80
2.6.3 与幂级数的关联 82
2.6.4 具有两个支点的例子 83
2.7 对数函数 85
2.7.1 指数函数的逆 85
2.7.2 对数幂级数 87
2.7.3 一般幂级数 88
2.8 在圆周上求平均值 89
2.8.1 质心 89
2.8.2 在正多边形上求平均值 91
2.8.3 在圆周上求平均值 94
2.9 习题 96
第3章 默比乌斯变换和反演 106
3.1 引言 106
3.1.1 默比乌斯变换的定义和意义 106
3.1.2 与爱因斯坦相对论的联系 107
3.1.3 分解为简单的变换 107
3.2 反演 108
3.2.1 初步的定义和事实 108
3.2.2 圆周的保持 110
3.2.3 用正交圆周构作反演点 112
3.2.4 角的保持 114
3.2.5 对称性的保持 115
3.2.6 对球面的反演 116
3.3 反演应用的三个例子 118
3.3.1 关于相切圆的问题 118
3.3.2 具有正交对角线的四边形的一个奇怪的性质 119
3.3.3 托勒密定理 120
3.4 黎曼球面 121
3.4.1 无穷远点 121
3.4.2 球极射影 121
3.4.3 把复函数转移到球面上 124
3.4.4 函数在无穷远点的性态 125
3.4.5 球极射影的公式 127
3.5 默比乌斯变换：基本结果 129
3.5.1 圆周、角度和对称性的保持 129
3.5.2 系数的非唯一性 130
3.5.3 群性质 131
3.5.4 不动点 132
3.5.5 无穷远处的不动点 132
3.5.6 交比 134
3.6 默比乌斯变换作为矩阵 136
3.6.1 与线性代数的联系的经验上的证据 136
3.6.2 解释：齐次坐标 138
3.6.3 特征向量与特征值 139
3.6.4 球面的旋转作为默比乌斯变换 141
3.7 可视化与分类 143
3.7.1 主要思想 143
3.7.2 椭圆型、双曲型和斜驶型变换 144
3.7.3 乘子的局部几何解释 146
3.7.4 抛物型变换 147
3.7.5 计算乘子 149
3.7.6 用特征值解释乘子 150
3.8 分解为2个或4个反射 151
3.8.1 引言 151
3.8.2 椭圆型情况 151
3.8.3 双曲型情况 152
3.8.4 抛物型情况 154
3.8.5 总结 154
3.9 单位圆盘的自同构 155
3.9.1 计算自由度的数目 155
3.9.2 用对称原理来求公式 156
3.9.3 最简单的公式的几何解释 157
3.9.4 介绍黎曼映射定理 158
3.10 习题 159
第4章 微分学：伸扭的概念 166
4.1 引言 166
4.2 一个令人迷惑的现象 166
4.3 平面映射的局部描述 168
4.3.1 引言 168
4.3.2 雅可比矩阵 168
4.3.3 伸扭的概念 170
4.4 复导数作为伸扭 170
4.4.1 重新考察实导数 170
4.4.2 复导数 171
4.4.3 解析函数 173
4.4.4 简短的总结 174
4.5 一些简单的例子 175
4.6 共形＝解析 176
4.6.1 引言 176
4.6.2 在整个区域中的共形性 177
4.6.3 共形性与黎曼球面 179
4.7 临界点 179
4.7.1 挤压的程度 179
4.7.2 共形性的破坏 180
4.7.3 支点 181
4.8 柯西-黎曼方程 182
4.8.1 引言 182
4.8.2 线性变换的几何学 183
4.8.3 柯西-黎曼方程 184
4.9 习题 185
第5章 微分学的进一步的几何研究 190
5.1 柯西-黎曼的真面目 190
5.1.1 引言 190
5.1.2 笛卡儿形式 190
5.1.3 极坐标形式 191
5.2 关于刚性的一个启示 192
5.3 log（z）的可视微分法 195
5.4 微分学的各法则 196
5.4.1 复合 196
5.4.2 反函数 197
5.4.3 加法与乘法 198
5.5 多项式、幂级数和有理函数 198
5.5.1 多项式 198
5.5.2 幂级数 199
5.5.3 有理函数 201
5.6 幂函数的可视微分法 201
5.7 exp（z）的可视微分法 203
5.8 E′＝E的几何解法 204
5.9 高阶导数的一个应用：曲率 206
5.9.1 引言 206
5.9.2 曲率的解析变换 207
5.9.3 复曲率 209
5.10 天体力学 212
5.10.1 有心力场 212
5.10.2 两类椭圆轨道 213
5.10.3 把第一种椭圆轨道变为第二种 215
5.10.4 力的几何学 216
5.10.5 一个解释 216
5.10.6 卡斯纳-阿诺尔德定理 217
5.11 解析拓展 218
5.11.1 引言 218
5.11.2 刚性 219
5.11.3 唯一性 220
5.11.4 恒等式的保持 222
5.11.5 通过反射作解析拓展 223
5.12 习题 227
第6章 非欧几何学 236
6.1 引言 236
6.1.1 平行线公理 236
6.1.2 非欧几何的一些事实 238
6.1.3 弯曲曲面上的几何学 239
6.1.4 内蕴几何与外在几何的对立 241
6.1.5 高斯曲率 241
6.1.6 常曲率曲面 243
6.1.7 与默比乌斯变换的联系 244
6.2 球面几何 245
6.2.1 球面三角形的角盈 245
6.2.2 球面上的运动：空间旋转和反射 246
6.2.3 球面上的一个共形映射 249
6.2.4 空间旋转也是默比乌斯变换 252
6.2.5 空间旋转与四元数 256
6.3 双曲几何 259
6.3.1 曳物线和伪球面 259
6.3.2 伪球面的常值负曲率 260
6.3.3 伪球面上的一个共形映射 261
6.3.4 贝尔特拉米的双曲平面 263
6.3.5 双曲直线和反射 266
6.3.6 鲍耶-罗巴切夫斯基公式 269
6.3.7 保向运动的三种类型 271
6.3.8 把任意保向运动分解为两个反射 275
6.3.9 双曲三角形的角盈 277
6.3.10 庞加莱圆盘 279
6.3.11 庞加莱圆盘中的运动 282
6.3.12 半球面模型与双曲空间 285
6.4 习题 289
第7章 环绕数与拓扑学 298
7.1 环绕数 298
7.1.1 定义 298
7.1.2 “内”是什么意思？ 299
7.1.3 快速地求出环绕数 299
7.2 霍普夫映射度定理 301
7.2.1 结果 301
7.2.2 环路作为圆周的映射 301
7.2.3 解释 303
7.3 多项式与辐角原理 303
7.4 一个拓扑辐角原理 304
7.4.1 用代数方法来数原象个数 304
7.4.2 用几何方法来数原象个数 306
7.4.3 解析函数在拓扑上有何特殊 307
7.4.4 拓扑辐角原理 309
7.4.5 两个例子 310
7.5 鲁歇定理 311
7.5.1 结果 311
7.5.2 代数的基本定理 312
7.5.3 布劳威尔不动点定理 313
7.6 最大值与最小值 313
7.6.1 最大模原理 313
7.6.2 相关的结果 315
7.7 施瓦茨-皮克引理 315
7.7.1 施瓦茨引理 315
7.7.2 刘维尔定理 318
7.7.3 皮克的结果 319
7.8 广义辐角原理 321
7.8.1 有理函数 321
7.8.2 极点与本性奇点 323
7.8.3 解释 325
7.9 习题 326
第8章 复积分：柯西定理 334
8.1 引言 334
8.2 实积分 335
8.2.1 黎曼和 335
8.2.2 梯形法则 336
8.2.3 误差的几何估计 337
8.3 复积分 339
8.3.1 复黎曼和 339
8.3.2 一个可视化技巧 341
8.3.3 一个有用的不等式 342
8.3.4 积分法则 342
8.4 复反演 343
8.4.1 一个圆弧 343
8.4.2 一般环路 344
8.4.3 环绕数 346
8.5 共轭映射 347
8.5.1 引言 347
8.5.2 用面积来解释 347
8.5.3 一般环路 349
8.6 幂函数 349
8.6.1 沿圆弧的积分 349
8.6.2 复反演作为极限情况 351
8.6.3 一般回路和形变定理 351
8.6.4 定理的进一步推广 353
8.6.5 留数 353
8.7 指数映射 355
8.8 基本定理 356
8.8.1 引言 356
8.8.2 一个例子 356
8.8.3 基本定理 357
8.8.4 积分作为原函数 359
8.8.5 对数作为积分 361
8.9 用参数作计算 362
8.10 柯西定理 363
8.10.1 一些预备知识 363
8.10.2 解释 364
8.11 一般的柯西定理 366
8.11.1 结果 366
8.11.2 解释 367
8.11.3 一个更简单的解释 368
8.11.4 回路积分的一般公式 369
8.12 习题 370
第9章 柯西公式及其应用 377
9.1 柯西公式 377
9.1.1 引言 377
9.1.2 第一种解释 377
9.1.3 高斯平均值定理 378
9.1.4 第二种解释和一般柯西公式 379
9.2 无穷可微性和泰勒级数 380
9.2.1 无穷可微性 380
9.2.2 泰勒级数 381
9.3 留数计算 383
9.3.1 以极点为中心的罗朗级数 383
9.3.2 计算留数的一个公式 384
9.3.3 对实积分的应用 385
9.3.4 用泰勒级数计算留数 387
9.3.5 在级数求和上的应用 388
9.4 环形域中的罗朗级数 390
9.4.1 一个例子 390
9.4.2 罗朗定理 391
9.5 习题 394
第10章 向量场：物理学与拓扑学 398
10.1 向量场 398
10.1.1 复函数作为向量场 398
10.1.2 物理向量场 399
10.1.3 流场和力场 400
10.1.4 源和汇 402
10.2 环绕数与向量场 403
10.2.1 奇点的指数 403
10.2.2 庞加莱怎样看指数 406
10.2.3 指数定理 407
10.3 闭曲面上的流 408
10.3.1 庞加莱-霍普夫定理的陈述 408
10.3.2 定义曲面上的指数 410
10.3.3 庞加莱-霍普夫定理的解释 411
10.4 习题 413
第11章 向量场与复积分 417
11.1 流量与功 417
11.1.1 流量 417
11.1.2 功 419
11.1.3 局部流量和局部功 420
11.1.4 散度和旋度的几何形式 422
11.1.5 零散度和零旋度向量场 423
11.2 从向量场看复积分 425
11.2.1 波利亚向量场 425
11.2.2 柯西定理 427
11.2.3 例子：面积作为流量 428
11.2.4 例子：环绕数作为流量 429
11.2.5 向量场的局部性态 430
11.2.6 柯西公式 431
11.2.7 正幂 432
11.2.8 负幂和多极子 433
11.2.9 无穷远处的多极子 435
11.2.10 罗朗级数作为多极子展开 435
11.3 复位势 436
11.3.1 引言 436
11.3.2 流函数 437
11.3.3 梯度场 439
11.3.4 势函数 440
11.3.5 复位势 441
11.3.6 例 444
11.4 习题 445
第12章 流与调和函数 448
12.1 调和对偶 448
12.1.1 对偶流 448
12.1.2 调和对偶 451
12.2 共形不变性 453
12.2.1 调和性的共形不变性 453
12.2.2 拉普拉斯算子的共形不变性 454
12.2.3 拉普拉斯算子的意义 456
12.3 一个强有力的计算工具 457
12.4 回顾复曲率 459
12.4.1 调和等势线的几何性质 459
12.4.2 调和等势线的曲率 460
12.4.3 关于复曲率的进一步计算 463
12.4.4 复曲率的其他几何性质 464
12.5 绕障碍物的流 466
12.5.1 引言 466
12.5.2 一个例子 466
12.5.3 镜像法 470
12.5.4 把一个流映为另一个流 476
12.6 黎曼映射定理的物理学 478
12.6.1 引言 478
12.6.2 外映射和绕障碍物的流 479
12.6.3 内映射和偶极子 481
12.6.4 内映射、涡旋和源 483
12.6.5 一个例子：圆盘的自同构 485
12.6.6 格林函数 487
12.7 狄里希莱问题 491
12.7.1 引言 491
12.7.2 施瓦茨的解释 492
12.7.3 圆盘的狄里希莱问题 494
12.7.4 诺依曼和波歇的解释 496
12.7.5 一般的格林公式 501
12.8 习题 504
参考文献 507
译后记 514