第一章 集合 1
一、集合论的历史演进 1
二、集合论在中学数学中的地位和作用 1
三、知识结构与教学目的 3
四、学生学习集合论时易出现的错误 4
五、教学建议 7
（一）集合定义 7
（二）关于符号“∈”、“？”的教学 10
（三）有限集、无限集、空集 11
（四）子集、包集、真子集、真包集、等集 13
（五）交集、并集、补集 14
（六）巩固新形成的认知结构 17
六、能力培养 21
（一）抽象概括能力 21
（二）逻辑思维能力 22
（三）集合运算能力 23
七、例题分析 25
第二章 函数 38
一、函数定义的历史演进 38
（一）“古典”定义 38
（二）传统定义 38
（三）近代定义 39
二、函数在中学数学中的地位和作用 40
三、知识结构与教学目的 41
四、学生学习函数时易出现的错误 43
五、教学建议 55
（一）“对应”与“单值对应” 55
（二）函数与单值函数 57
（三）单映射与满映射 59
（四）一一映射 61
（五）对应、映射与函数的关系 64
（六）反函数 64
（七）奇函数与偶函数 70
（八）幂函数图象的分析方法 75
（九）指数函数与对数函数 79
（十）对数换底公式 82
六、能力培养 85
七、例题分析 89
第三章 数学归纳法 117
一、数学归纳法的历史演进 117
二、数学归纳法在中学数学中的地位和作用 118
三、知识结构与教学目的 120
四、学生学习数学归纳法时易出现的错误 121
五、教学建议 125
（一）概念引出 125
（二）数学归纳法的原理分析 126
（三）为什么证明时两步缺一不可 128
（四）验证第一步n0的取值问题 130
（五）在动态中理解原理 131
六、能力培养 136
（一）递推归纳思维能力 136
（二）演绎推理能力 136
（三）简缩思维能力 136
七、例题分析 137
第四章 不等式 151
一、不等式符号的历史演进 151
二、不等式在中学数学中的地位和作用 153
三、知识结构与教学目的 154
四、学生学习不等式时易出现的错误 156
五、教学建议 161
（一）不等式的一些基本概念 161
（二）不等式定义的基础及实数的有关性质 164
（三）不等式的基本性质 166
（四）不等式的八种证明方法 173
（五）含有绝对值不等式的性质 186
（六）解不等式 188
（七）解不等式的几种主要方法 195
（八）解含有绝对值的不等式 206
六、能力培养 209
（一）观察能力 209
（二）转化能力 210
（三）深化能力 210
七、例题分析 211
第五章 行列式和线性方程组 223
一、行列式的历史演进 223
二、行列式和线性方程组在中学数学中的地位和作用 225
三、知识结构与教学目的 225
四、学生学习行列式和线性方程组时易出现的错误 228
五、教学建议 231
（一）二阶行列式和二元线性方程组 231
（二）关于二元线性方程组的讨论 232
（三）三阶行列式及其性质 234
（四）按一行（或一列）展开三阶行列式 239
（五）三元线性方程组 240
（六）三元齐次线性方程组 245
（七）用顺序消元法解线性方程组 246
（八）做好总结归纳工作 247
六、能力培养 248
（一）正逆思维能力 249
（二）变通能力（或称变形能力） 250
（三）应用能力 252
七、例题分析 263
八、附录 286
第六章 复数 291
一、复数集的历史演进 291
二、复数在中学数学中的地位和作用 295
三、知识结构与教学目的 298
四、学生学习复数时易出现的错误 302
五、教学建议 307
（一）复数概念的引出 308
（二）复数的代数式 311
（三）虚数单位i 312
（四）复数的模与辐角 313
（五）复数的三角函数式与指数式 314
（六）复数的相等与共轭 318
（七）复数的加减运算 321
（八）复数的乘除运算 325
（九）复数的乘方与开方 329
（十）关于复数集内的大小问题 331
（十一）关于复数开方多值性与运算唯一性的处理 334
（十二）关于复平面与笛卡尔平面的联系与区别 338
六、能力培养 338
七、例题分析 343
第七章 排列，组合，二项式定理 360
一、排列，组合，二项式定理的历史演进 360
二、排列，组合，二项式定理在中学数学中的地位和作用 362
三、知识结构与教学目的 363
四、学生学习排列，组合，二项式定理时易出现的错误 365
五、教学建议 374
（一）两个基本原理 374
（二）排列、组合 376
（三）排列数、组合数 378
（四）组合数的两个性质 380
（五）几个公式的恒等变形 382
（六）排列、组合的应用题 386
（七）二项式定理 390
六、能力培养 393
（一）抽象概括能力 393
（二）逻辑演绎能力 394
七、例题分析 396
第八章 一元多项式和高次方程 417
一、一元多项式和高次方程的历史演进 417
二、一元多项式和高次方程在中学数学中的地位和作用 420
三、知识结构与教学目的 421
四、学生学习一元多项式和高次方程时易出现的错误 424
五、教学建议 426
（一）一元n次多项式的有关概念 426
（二）综合除法 428
（三）余数定理，因式定理 431
（四）利用综合除法，因式定理分解因式 436
（五）一元n次方程根的个数 445
（六）一元n次方程根与系数的关系 447
（七）实系数方程虚根成对定理 455
六、能力培养 459
（一）代数推理论证能力 459
（二）运算能力 460
（三）学习迁移能力 462
七、例题分析 463
第九章 数列 478
一、数列在中学数学中的地位和作用 478
二、知识结构与教学目的 479
三、学生学习数列时易出现的错误 481
四、教学建议 487
（一）数列概念的教学 487
（二）等差数列 493
（三）等比数列 495
（四）数列求和 498
（五）递归数列的教学 509
五、能力培养 518
（一）逻辑概括能力 518
（二）逻辑表达能力 520
（三）“转化”能力 520
六、例题分析 522
第十章 极限 546
一、极限的历史演进 546
二、极限在中学数学中的地位和作用 547
三、知识结构与教学目的 548
四、学生学习极限时易出现的错误 549
五、教学建议 554
（一）数列极限定义 554
（二）数列极限四则运算 559
（三）无穷递缩等比数列 565
（四）函数极限定义 568
（五）函数极限四则运算 571
（六）两个重要函数的极限 574
六、能力培养 580
（一）逻辑推理能力 580
（二）恒等变形能力 582
（三）辩证思维能力 584
七、例题分析 585