上册 1
预备知识：集合与函数 1
第1章 函数的导数与微分 3
1.1 函数的导数 3
1.1.1 导数的概念 3
1.1.2 导数的惟一性及简单的导数公式 8
习题1.1 9
1.2 导数的性质 10
1.2.1 导数不变号则函数单调 10
1.2.2 第一单调定理 10
1.2.3 第二单调定理 11
1.2.4 强可导函数导数差商有界 12
1.2.5 导数的不等式和估值定理 13
习题1.2 16
1.3 求导法则 16
1.3.1 乘积函数的求导法则 16
1.3.2 复合函数的求导法则 17
1.3.3 函数倒数与函数商的求导法则 18
1.3.4 反函数的求导法则 19
习题1.3 22
1.4 对数函数与指数函数的导数公式 23
1.4.1 自然对数的概念与性质 23
1.4.2 指数函数y=ex的概念与性质 25
习题1.4 28
1.5 基本初等函数及初等函数的导数 28
习题1.5 29
1.6 几种特殊求导法 30
1.6.1 隐函数求导法 30
1.6.2 由参数方程确定的函数的求导法则 31
1.6.3 取对数求导法 32
习题1.6 33
1.7 高阶导数 33
习题1.7 35
1.8 函数的微分 36
1.8.1 微分的概念 36
1.8.2 基本初等函数微分公式与微分法则 37
1.8.3 微分在近似计算中的应用 39
习题1.8 41
总习题1 41
科学家简介 43
第2章 导数的应用 44
2.1 泰勒（Taylor）公式 44
习题2.1 49
2.2 函数单调性的判定 49
习题2.2 50
2.3 函数曲线凹凸性的判定 50
习题2.3 54
2.4 函数的极值与最值 55
2.4.1 函数的极值 55
2.4.2 函数的最值 59
习题2.4 60
总习题2 61
科学家简介 62
第3章 定积分和不定积分 63
3.1 定积分与微积分基本定理 63
3.1.1 定积分的公理化定义 63
3.1.2 差商有界函数积分系统的惟一性 65
3.1.3 微积分学基本定理（牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式） 66
3.1.4 变上限的定积分 67
习题3.1 69
3.2 原函数与不定积分 70
3.2.1 原函数与不定积分的概念 70
3.2.2 不定积分的性质 73
习题3.2 76
3.3 换元积分法 77
3.3.1 第1类换元积分法 77
3.3.2 第2类换元积分法 82
习题3.3 87
3.4 分部积分法 87
习题3.4 93
3.5 几种特殊类型函数的积分 93
3.5.1 有理函数的积分 94
3.5.2 三角函数有理式的积分 100
3.5.3 简单无理式的积分 101
习题3.5 103
3.6 定积分的计算 103
习题3.6 104
3.7 定积分的换元法和分部积分法 105
3.7.1 定积分的换元积分法 105
3.7.2 定积分的分部积分法 109
习题3.7 110
总习题3 112
科学家简介 114
第4章 定积分的应用 118
4.1 平面图形的面积 118
4.1.1 平面直角坐标系下面积的计算 118
4.1.2 极坐标情形 120
4.1.3 参数方程情形 121
习题4.1 121
4.2 空间立体的体积 123
4.2.1 平行截面面积为已知的立体的体积（截面法） 123
4.2.2 旋转体的体积 124
习题4.2 126
4.3 平面曲线的弧长 126
4.3.1 直角坐标情形 127
4.3.2 参数方程情形 128
4.3.3 极坐标情形 128
习题4.3 129
4.4 功、水压力和引力 129
4.4.1 变力沿直线所做的功 130
4.4.2 水压力 131
4.4.3 引力 132
习题4.4 133
总习题4 133
科学家简介 135
第5章 数列极限与无穷级数 137
5.1 实数集的连续性和连续归纳法 137
5.1.1 实数集的连续性 137
5.1.2 连续归纳法 138
5.1.3 确界原理 139
习题5.1 140
5.2 数列极限的概念 140
5.2.1 数列极限的“ε-N”语言 141
5.2.2 无界不减数列 141
5.2.3 数列极限的“D-”语言 143
习题5.2 145
5.3 收敛数列的性质与运算 146
5.3.1 收敛数列的性质 146
5.3.2 数列极限的运算性质 148
5.3.3 数列极限的存在准则 149
习题5.3 152
5.4 数项级数的概念和性质 153
5.4.1 基本概念 153
5.4.2 级数的基本性质 155
习题5.4 156
5.5 正项级数的判别法 157
5.5.1 积分判别法 157
5.5.2 比较判别法 158
5.5.3 比值判别法和根值判别法 159
习题5.5 161
5.6 一般项级数 161
5.6.1 交错级数 161
5.6.2 绝对收敛与条件收敛 162
习题5.6 164
总习题5 164
科学家简介 166
第6章 函数的极限和连续性 168
6.1 函数极限的概念 168
6.1.1 函数极限的“ε-”语言 168
6.1.2 无界单调函数 169
6.1.3 函数极限的“D-”语言 171
习题6.1 173
6.2 函数极限的性质与运算 174
6.2.1 函数极限的性质 174
6.2.2 函数极限的运算法则 176
6.2.3 函数极限存在准则 177
6.2.4 两个重要极限 180
习题6.2 182
6.3 无穷小量与无穷大量 183
6.3.1 无穷小量的概念 183
6.3.2 无穷小量阶的比较 184
6.3.3 无穷大量 185
习题6.3 186
6.4 函数的连续性 187
6.4.1 函数在一点连续的概念 187
6.4.2 间断点及其分类 188
6.4.3 初等函数的连续性 191
习题6.4 192
6.5 闭区间上连续函数的性质 193
6.5.1 最值性 193
6.5.2 介值性 194
6.5.3 一致连续性 195
习题6.5 196
总习题6 196
第7章 极限与导数 198
7.1 函数在一点处可导的概念 198
7.1.1 强可导和极限的联系 198
7.1.2 函数在一点可导的定义 199
7.1.3 导数的计算方法 203
7.1.4 高阶导数 207
7.1.5 导数的几何意义 208
习题7.1 209
7.2 微分中值定理 210
7.2.1 费马（Fermat）定理 211
7.2.2 罗尔（Rolle）定理 212
7.2.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理 213
7.2.4 用拉格朗日中值定理讨论函数性质 215
7.2.5 柯西（Cauchy）中值定理 218
习题7.2 219
7.3 洛必达（L′Hospital）法则 220
7.3.1 0/0型与∞/∞型不定式 220
7.3.2 其他类型的不定式 222
7.3.3 关于使用洛必达法则求极限应注意的几点 223
习题7.3 224
7.4 泰勒公式 225
7.4.1 泰勒公式 226
7.4.2 泰勒公式的应用 228
习题7.4 229
7.5 函数性态的进一步研究 230
7.5.1 函数的凹凸性 230
7.5.2 函数的极值与最值 232
7.5.3 函数作图 235
习题7.5 240
总习题7 241
科学家简介 243
第8章 极限与定积分 245
8.1 函数的黎曼积分和黎曼可积性 245
8.1.1 黎曼积分的定义 245
8.1.2 黎曼可积条件 248
习题8.1 250
8.2 黎曼积分与积分系统的关系以及定积分的性质 250
8.2.1 黎曼积分与积分系统的关系 250
8.2.2 定积分的性质 252
8.2.3 定积分中值定理 255
习题8.2 256
8.3 微积分基本公式 定积分的计算（续） 256
8.3.1 变限积分与原函数的存在性 256
8.3.2 换元积分法与分部积分法 259
习题8.3 259
8.4 广义积分 260
8.4.1 无穷限的广义积分 260
8.4.2 无界函数的广义积分 264
习题8.4 266
8.5 广义积分审敛法 266
8.5.1 无穷限广义积分的审敛法 267
8.5.2 无界函数广义积分的审敛法 270
8.5.3 Γ函数简介 271
习题8.5 273
总习题8 273
科学家简介 275
附录 276
附录1 基本初等函数的定义域和图像 276
附录2 常用几何曲线图示 281
习题答案 285
下册 299
第9章 空间解析几何与向量代数 299
9.1 空间直角坐标系 299
9.1.1 空间直角坐标系的建立点和坐标的对应 299
9.1.2 两点间距离公式 300
习题9.1 301
9.2 向量及其运算 302
9.2.1 向量的概念 302
9.2.2 向量的运算 303
习题9.2 305
9.3 向量的分解和向量的坐标 305
9.3.1 向量的分解和向量在坐标轴上的分量 305
9.3.2 向量的坐标 307
9.3.3 向量的模和方向余弦的坐标表示式 309
习题9.3 311
9.4 向量的数量积和向量积 311
9.4.1 向量的数量积 311
9.4.2 向量的向量积 313
习题9.4 315
9.5 平面及其方程 316
9.5.1 确定平面的条件 316
9.5.2 平面的几种方程 316
9.5.3 两平面的位置关系 319
习题9.5 321
9.6 空间直线及其方程 321
9.6.1 直线的各种方程 322
9.6.2 两直线的夹角 324
9.6.3 直线与平面的夹角 325
9.6.4 直线与平面的综合例题 325
习题9.6 327
9.7 曲面及其方程 329
9.7.1 球面 329
9.7.2 线段的垂直平分面方程 329
9.7.3 旋转曲面 330
9.7.4 柱面 332
9.7.5 二次曲面 332
习题9.7 336
9.8 空间曲线及其方程 337
9.8.1 空间曲线的一般方程 337
9.8.2 空间曲线的参数方程 339
9.8.3 空间曲线在坐标面上的投影 339
习题9.8 341
总习题9 341
第10章 多元函数微分法及其应用 343
10.1 多元函数的基本概念 343
10.1.1 平面区域 343
10.1.2 n维空间 344
10.1.3 多元函数的概念 345
10.1.4 二元函数的几何意义 346
10.1.5 二元函数的极限 347
10.1.6 二元函数的连续性 349
习题10.1 350
10.2 偏导数 351
10.2.1 偏导数的定义 351
10.2.2 偏导数的几何意义 353
10.2.3 高阶偏导数 354
习题10.2 355
10.3 全微分及其应用 356
习题10.3 360
10.4 多元复合函数的求导法则 361
10.4.1 复合函数的中间变量为一元函数的情形 361
10.4.2 复合函数的中间变量为多元函数的情形 362
10.4.3 复合函数的中间变量既有一元函数也有多元函数的情形 364
习题10.4 366
10.5 隐函数微分法 366
10.5.1 一个方程的情形 366
10.5.2 方程组的情形 369
习题10.5 372
10.6 微分法在几何中的应用 373
10.6.1 空间曲线的切线与法平面 373
10.6.2 空间曲面的切平面与法线 376
习题10.6 379
10.7 方向导数与梯度 379
10.7.1 方向导数 379
10.7.2 梯度 381
10.7.3 梯度与等高线的关系 382
10.7.4 数量场与向量场概念简介 384
习题10.7 385
10.8 多元函数的极值及最值 385
10.8.1 二元函数的极值 385
10.8.2 二元函数的最值 388
10.8.3 条件极值 389
习题10.8 392
10.9 二元函数的泰勒公式 392
10.9.1 二元函数的泰勒公式 392
10.9.2 极值充分条件的证明 395
习题10.9 396
总习题10 396
科学家简介 398
第11章 重积分 399
11.1 二重积分的概念 399
11.1.1 实际问题 399
11.1.2 二重积分的定义 400
11.1.3 二重积分的基本性质 401
习题11.1 402
11.2 二重积分的计算 402
11.2.1 直角坐标系下的计算公式 402
11.2.2 二重积分的换元法 405
习题11.2 409
11.3 三重积分 410
11.3.1 三重积分的概念 410
11.3.2 直角坐标系下三重积分的计算公式 410
11.3.3 三重积分的换元法 412
习题11.3 415
11.4 重积分的应用举例 416
11.4.1 曲面的面积 416
11.4.2 质心 417
11.4.3 物体的转动惯量 418
11.4.4 引力计算 419
习题11.4 420
11.5 含参变量积分 421
11.5.1 含参变量的正常积分 421
11.5.2 含参变量的广义积分 425
习题11.5 427
总习题11 427
第12章 曲线积分 429
12.1 对弧长的曲线积分 429
12.1.1 对弧长的曲线积分的概念 429
12.1.2 对弧长的曲线积分的性质 430
12.1.3 对弧长的曲线积分的计算与应用 430
习题12.1 432
12.2 对坐标的曲线积分 432
12.2.1 对坐标的曲线积分的概念 432
12.2.2 对坐标的曲线积分的计算 435
12.2.3 两类曲线积分的联系 437
习题12.2 437
12.3 格林（Green）公式 438
12.3.1 格林公式 438
12.3.2 曲线积分与路径的无关性 441
习题12.3 445
总习题12 446
科学家简介 447
第13章 曲面积分 448
13.1 对面积的曲面积分 448
13.1.1 对面积的曲面积分的概念 448
13.1.2 对面积的曲面积分的计算 449
习题13.1 451
13.2 对坐标的曲面积分 452
13.2.1 双侧曲面 452
13.2.2 流量问题 453
13.2.3 对坐标的曲面积分的概念和性质 454
13.2.4 对坐标的曲面积分的计算 455
13.2.5 两类曲面积分的联系 457
习题13.2 457
13.3 高斯（Gauss）公式 458
13.3.1 高斯公式 458
13.3.2 通量与散度 460
习题13.3 462
13.4 斯托克斯（Stokes）公式 462
13.4.1 斯托克斯公式 462
13.4.2 空间曲线积分与路径无关性 465
13.4.3 向量场的环流量与旋度 466
习题13.4 468
总习题13 468
科学家简介 470
第14章 函数项级数 472
14.1 幂级数 472
14.1.1 函数项级数的一般概念 472
14.1.2 幂级数及其收敛性 473
14.1.3 幂级数的运算 477
习题14.1 480
14.2 函数展开成幂级数 480
14.2.1 泰勒级数的概念 481
14.2.2 函数展开成幂级数的方法 483
习题14.2 488
14.3 幂级数的应用 489
14.3.1 函数值的近似计算 489
14.3.2 计算定积分 490
14.3.3 欧拉公式 491
习题14.3 491
14.4 函数项级数的一致收敛性 491
14.4.1 函数项级数一致收敛性的概念 491
14.4.2 一致收敛级数的基本性质 494
习题14.4 497
14.5 傅里叶（Fourier）级数 497
14.5.1 三角级数和三角函数系的正交性 497
14.5.2 函数展成傅里叶级数 499
14.5.3 正弦级数和余弦级数 505
14.5.4 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 508
14.5.5 傅里叶级数的复数形式 511
习题14.5 512
总习题14 513
科学家简介 515
第15章 微分方程初步 516
15.1 微分方程的概念 516
15.1.1 实例 516
15.1.2 微分方程的基本概念 517
15.1.3 微分方程解的存在性 519
15.1.4 建立微分方程 521
习题15.1 523
15.2 一阶微分方程 524
15.2.1 可以直接积分的类型 524
15.2.2 变量可分离的类型 525
15.2.3 右端为齐次函数的类型 526
15.2.4 一阶线性微分方程 527
15.2.5 伯努利（Bernouli）方程 529
15.2.6 恰当方程与积分因子法 530
习题15.2 536
15.3 二阶微分方程 537
15.3.1 三类可降阶的二阶微分方程 537
15.3.2 二阶常系数线性微分方程 540
习题15.3 551
15.4 求高阶常系数线性非齐次微分方程特解的有限递推法 552
习题15.4 560
15.5 微分方程的幂级数解法 560
习题15.5 563
15.6 微分方程应用举例 564
15.6.1 求平面曲线方程 564
15.6.2 RC电路的充（放）电问题 565
15.6.3 物体的冷却问题 566
15.6.4 流体混合问题 568
15.6.5 求物体的变速直线运动方程 569
习题15.6 573
总习题15 574
科学家简介 576
习题答案 577