1 复数与复变函数 1
1.1 复数及其运算 1
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复平面 1
1.1.3 复数的四则运算 4
1.1.4 复数的乘幂与开方 7
1.1.5 复球面与无穷远点 9
1.2 平面点集的一般概念 9
1.2.1 区域 9
1.2.2 平面曲线 10
1.3 复变函数 12
1.3.1 复变函数的概念 12
1.3.2 复变函数的极限与连续 14
1.3.3 复变函数的导数与微分 16
习题一 18
2 解析函数 20
2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 20
2.1.1 解析函数的概念 20
2.1.2 柯西-黎曼方程 21
2.2 初等函数及其解析性 25
2.2.1 指数函数 25
2.2.2 对数函数 26
2.2.3 幂函数 27
2.2.4 三角函数和反三角函数 28
2.2.5 双曲函数与反双曲函数 30
2.3 解析函数与调和函数的关系 31
习题二 35
3 复变函数的积分 37
3.1 复变函数积分的概念 37
3.1.1 复变函数积分的定义 37
3.1.2 复变函数积分的存在条件 38
3.1.3 复变函数积分的基本性质 38
3.1.4 复变函数积分的计算 39
3.2 柯西积分定理 41
3.2.1 柯西积分定理 41
3.2.2 变上限积分与原函数 43
3.3 复合闭路定理 45
3.4 柯西积分公式 46
3.4.1 柯西积分公式 47
3.4.2 高阶求导公式 48
习题三 51
阶段复习题一 53
4 解析函数的幂级数表示 56
4.1 复级数的基本概念 56
4.1.1 复数列的极限 56
4.1.2 复数项级数 56
4.1.3 复变函数项级数 58
4.2 幂级数 59
4.2.1 幂级数的收敛性 59
4.2.2 幂级数的运算和性质 62
4.3 解析函数的泰勒展开 63
4.3.1 泰勒（Taylor）定理 63
4.3.2 解析函数的泰勒展开法 65
4.4 洛朗级数 68
4.4.1 洛朗级数的概念 69
4.4.2 解析函数的洛朗展开 70
习题四 75
5 留数及其应用 77
5.1 孤立奇点 77
5.1.1 孤立奇点的三种类型 77
5.1.2 极点和零点的关系 80
5.1.3 函数在无穷远点的性质 82
5.2 留数 83
5.2.1 留数的定义 83
5.2.2 极点处留数的计算 84
5.2.3 留数定理 86
5.2.4 函数在无穷远点的留数 90
5.3 利用留数计算实积分 93
5.3.1 形如？R（cosθ，sinθ）dθ的积分 93
5.3.2 形如？R(x)dx的积分 95
5.3.3 形如？R(x)eiαx dx（α＞0）的积分 96
习题五 100
6 共形映射 102
6.1 共形映射的概念 102
6.1.1 解析函数的导数的几何意义 102
6.1.2 共形映射的定义 104
6.2 分式线性映射 105
6.2.1 分式线性映射及其分解 105
6.2.2 分式线性映射的几何性质 107
6.2.3 分式线性映射的确定 109
6.3 几种常见的分式线性映射 112
6.3.1 把上半平面映射成上半平面的分式线性映射 112
6.3.2 把上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射 112
6.3.3 把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射 115
6.4 几个初等函数构成的映射 116
6.4.1 幂函数与根值函数 116
6.4.2 指数函数和对数函数 120
习题六 122
阶段复习题二 123
7 Fourier变换 126
7.1 Fourier积分公式 126
7.2 Fourier变换 130
7.2.1 Fourier变换的概念 130
7.2.2 Fourier变换的物理定义——非周期函数的频谱 133
7.3 δ函数及其Fourier变换 136
7.3.1 δ函数的定义和性质 137
7.3.2 δ函数的Fourier变换 138
7.4 Fourier变换的性质 140
7.4.1 线性性质 140
7.4.2 位移性质 141
7.4.3 微分性质 142
7.4.4 像函数的微分性质 143
7.4.5 积分性质 144
7.4.6 对称性质 145
7.4.7 相似性质 145
7.5 Fourier变换的卷积性质 146
习题七 150
8 Laplace变换 152
8.1 Laplace变换的概念 152
8.1.1 Laplace变换的定义 152
8.1.2 Laplace变换存在的条件 154
8.1.3 周期函数的Laplace变换 157
8.2 Laplace变换的性质 158
8.2.1 线性性质 158
8.2.2 相似性质 158
8.2.3 微分性质 159
8.2.4 积分性质 160
8.2.5 位移性质 163
8.2.6 延迟性质 163
8.3 Laplace逆变换 164
8.3.1 反演积分公式 165
8.3.2 Laplace逆变换的计算 165
8.4 卷积 168
8.4.1 卷积的定义 168
8.4.2 卷积定理 169
8.5 Laplace变换的应用 170
8.5.1 求解常系数的常微分方程 170
8.5.2 求解常系数线性微分方程组 173
8.5.3 解微分积分方程 175
习题八 177
阶段复习题三 179
模拟试卷（一） 183
模拟试卷（二） 185
习题参考答案 187
附录一 Fourier变换简表 198
附录二 Laplace变换简表 201
参考文献 206