第1章 导言——写在前面 1
1.1 本书的函数论 2
1.1.1 函数的代数意义 2
1.1.1.1 函数的定义 2
1.1.1.2 初等函数 4
1.1.2 函数的几何意义 4
1.1.2.1 笛卡儿的贡献 4
1.1.2.2 极坐标 8
1.1.3 函数的基本性质 9
1.1.3.1 有界性 10
1.1.3.2 周期性 10
1.1.3.3 奇偶性 10
1.1.3.4 单调性 10
1.1.3.5 显隐性 11
1.1.4 函数的简单衍生 11
1.1.4.1 反函数 11
1.1.4.2 复合函数 12
1.1.4.3 多元函数 13
1.1.5 矢量函数 14
1.1.5.1 矢量表示 14
1.1.5.2 矢量运算 14
1.1.5.3 场论初步 19
1.1.6 本书基本问题的提出 21
章末小阅读：寻觅大学精神，探索人文之路——读蔡元培先生《就任北京大学校长之演说》有感 28
第2章 感性认识——微积分起源 34
2.1 古代微积分思想的萌芽 35
2.1.1 微积分的哲学思想 35
2.1.2 刘徽的“割圆术” 36
2.2 微积分创立的社会背景 39
2.2.1 中世纪思想禁锢和大学的艰难发展 39
2.2.2 文艺复兴运动和思想的解放 41
2.2.3 资产阶级革命和生产力的发展 42
2.3 先驱者的贡献 44
2.3.1 微分的思想 45
2.3.2 积分的思想 48
章末小阅读：为什么微积分没有在中国产生 54
第3章 感性跨越——站在巨人的肩膀上 59
3.1 牛顿的微积分 60
3.1.1 “独处”成就了牛顿，牛顿验证了“独处” 60
3.1.2 牛顿的微积分著作简介 61
3.1.3 牛顿的其他成就 64
3.2 莱布尼茨的微积分 65
3.2.1 博览群书，广交英才 66
3.2.2 莱布尼茨微积分思想的来源 67
3.2.3 “古怪的”微积分论文 70
3.2.4 莱布尼茨的其他贡献 72
3.2.5 莱布尼茨和牛顿 73
3.3 极限初步 75
3.3.1 极限的四则运算法则和夹挤原理 75
3.3.2 几类很重要的极限 76
3.4 导数 78
3.4.1 导数的本质 78
3.4.2 可导的条件 80
3.4.3 用定义求导数 81
3.4.4 四则运算求导法则 82
3.4.5 复合函数求导法则 83
3.4.6 初等函数的求导问题 84
3.4.7 函数领域的“不倒翁” 85
3.4.8 导数的几何意义与最值初步 86
3.4.9 偏导数及其简单应用 88
3.4.9.1 偏导数的意义 88
3.4.9.2 隐函数求导 90
3.4.9.3 曲线的切线与法平面 91
3.4.9.4 曲面的切平面与法线 92
3.4.9.5 正交曲面坐标系 94
3.5 再议最值 97
3.5.1 多元函数的最值 97
3.5.2 条件极值 98
3.6 微积分的本质 99
3.6.1 什么是微分 100
3.6.2 微分和导数的区别及微分简单应用 101
3.6.2.1 微分和导数的区别 101
3.6.2.2 微分的简单应用 102
3.6.3 什么是积分 103
3.6.3.1 微积分基本原理 103
3.6.3.2 不定积分 104
3.6.3.3 定积分 105
3.6.4 微积分的精髓 106
3.6.5 微积分的基本方法 107
3.7 积分的算法 109
3.7.1 凑微分法 110
3.7.2 换元积分法 112
3.7.3 分部积分法 114
3.7.4 综合积分法 115
3.7.5 极限积分法 117
3.8 微分方程初步 117
3.8.1 可分离变量微分方程 118
3.8.1.1 引例 118
3.8.1.2 可分离变量微分方程的一般解法 118
3.8.2 一阶线性微分方程 120
3.8.2.1 引例 120
3.8.2.2 一阶线性微分方程的一般解法 120
3.8.3 其他常见微分方程的一般解法 121
3.8.3.1 齐次微分方程的一般解法 122
3.8.3.2 可降阶高阶微分方程的一般解法 122
章末小阅读：椭圆周长怎么计算 124
第4章 走向理性——逼近无穷小 129
4.1 第二次数学危机 130
4.1.1 贝克莱悖论 130
4.1.2 更加混乱的局面 131
4.2 分析的算术化 132
4.2.1 柯西的探索 132
4.2.2 数学分析的集大成者——维尔斯特拉斯 134
4.2.2.1 “兴趣是最好的老师”再次被应验 134
4.2.2.2 艰苦造就天才，困难磨炼英雄 135
4.2.2.3 无与伦比的大学数学教师 136
4.2.2.4 神秘的ε-δ语言 137
4.2.2.5 到底什么是无穷小 138
4.2.2.6 处处连续但处处不可导函数存在吗 140
4.3 级数的发展与成熟 142
4.3.1 级数及其最初面临的困境 142
4.3.2 用定义判定级数敛散性及其简单应用 143
4.3.2.1 用定义判定级数敛散性 143
4.3.2.2 柯西审敛原理相关推广 144
4.3.2.3 莱布尼茨判别法及其相关推广 146
4.3.3两 个关于等比级数的有趣问题 148
4.3.3.1 0.9比1小吗 148
4.3.3.2 阿基里斯是怎样追上乌龟的 148
4.3.4 函数展开成幂级数 150
4.3.4.1 中值定理 150
4.3.4.2 泰勒公式 153
4.3.4.3 泰勒公式的简单应用 155
4.3.4.4 泰勒级数 156
4.3.4.5 欧拉公式 157
章末小阅读：傅立叶级数简介 160
第5章 理性发展——走向成熟 167
5.1 多元函数的积分 168
5.1.1 重积分 168
5.1.1.1 引例 168
5.1.1.2 重积分的定义和性质 169
5.1.1.3 重积分的计算 171
5.1.2 曲线积分 173
5.1.2.1 对弧长的曲线积分 173
5.1.2.2 对坐标的曲线积分 175
5.1.2.3 两类（型）曲线积分的联系 176
5.1.3 曲面积分 178
5.1.3.1 对面积的曲面积分 178
5.1.3.2 对坐标的曲面积分 180
5.1.3.3 两类（型）曲面积分的联系 182
5.2 再议场论 182
5.2.1 方向导数与梯度 183
5.2.1.1 引言 183
5.2.1.2 几何意义 184
5.2.1.3 哈密顿算子 187
5.2.1.4 物理意义 188
5.2.2 通量与散度 190
5.2.2.1 通量的回顾及其物理意义 190
5.2.2.2 散度的几何意义 192
5.2.2.3 散度公式之不严密推导 193
5.2.2.4 基于微积分基本方法和原理的散度公式推导 194
5.2.2.5 散度公式在其他正交曲面中的表示 196
5.2.2.6 高斯定理的简单理解和奇妙推导 197
5.2.2.7 高斯定理在平面域上的表示 199
5.2.2.8 高斯定理的物理解释 200
5.2.3 环量与旋度 201
5.2.3.1 引例与环量 201
5.2.3.2 类比方法理解旋度 202
5.2.3.3 旋度的由来 203
5.2.3.4 斯托克斯公式 204
5.2.3.5 斯托克斯公式的物理解释 205
5.3 再议微分方程 206
5.3.1 线性齐次方程解的结构 207
5.3.2 常系数线性微分方程 209
5.3.2.1 常系数齐次线性微分方程的一般解法 209
5.3.2.2 常系数非齐次线性微分方程的一般解法 211
5.4 变分法简介 215
5.4.1 变分法起源 215
5.4.2 最简泛函的极值 217
5.4.3 欧拉方程 218
5.4.4 最值总结 219
5.5 欧拉积分简介 222
章末小阅读：任意N边形面积的计算及简单应用 224
附录A 常用表 229
A1 常见函数的导数表 229
A2 常见函数的微分表 230
A3 常见函数的积分表 230
A4 常见函数的幂级数展开式 232
附录B 本书练习题及参考答案——测验自己收获了多少 234
B1 练习题 234
B2 参考答案 242
附录C 微积分学发展史大事年表 252
附录D 本书中使用计算机软件的部分源程序及结果 256
D1 “地图面积计算”C语言程序及结果 256
D2 “椭圆周长计算”C语言程序及结果 261
D3 “山峰”的MATLAB绘图源程序及结果 263
附录E 微积分学部分中英文词汇对照 265
后记 267
参考文献 272