序篇 微积分发展简史 1
一、微积分的前史 1
二、微积分的创立 6
三、18世纪的微积分 10
四、微积分的严格化 12
第一章 重要基本概念的分析 15
第一节 对确界概念的认识 15
一、有界数集与无界数集的描述 15
二、确界概念的分析 16
三、确界原理 19
第二节 怎样学好极限的概念 20
一、数列极限概念的分析 21
二、函数极限概念的分析 30
三、数列极限与函数极限的统一 45
第三节 如何理解函数的连续性 46
一、函数在一点连续的意义 47
二、一致连续定义的分析 54
第四节 否定命题的描述 60
一、什么是否定命题 60
二、用肯定语气描述否定命题 61
三、几个重要的否定命题 64
四、如何运用否定命题 69
第五节 如何认识级数收敛的概念 73
一、级数的收敛与发散 73
二、级数收敛与数列收敛的关系 75
三、绝对收敛与条件收敛 76
第六节 正确理解一致收敛性 77
一、函数列的一致收敛性 77
二、含参变量广义积分的一致收敛性 84
第二章 基本理论的专题剖析 88
第一节 海涅定理及其应用 88
一、海涅定理的含义 88
二、海涅定理的证明分析 90
三、海涅定理的各种情形 93
四、海涅定理的应用 94
第二节 实数连续性定理的等价性 99
第三节 实数连续性定理的运用 106
一、致密性定理的运用 106
二、区间套定理的运用 111
三、有限覆盖定理的运用 114
四、确界原理的运用 118
第四节 一致收敛级数性质的理论分析 122
一、和函数的连续性 122
二、逐项可积性 126
三、逐项可微性 130
四、一致收敛积分与一致收敛级数的关系 133
第五节 微分与积分的关系 138
一、求导数与求原函数的互逆关系 138
二、微积分基本定理的启示 141
三、导数与不定积分计算方法的联系 143
第三章 常用思考方法 145
第一节 分析和综合的方法 145
一、思路相反的两种方法 145
二、用导数证明不等式的思路 151
三、分析法与综合法的联合运用 164
第二节 从特殊到一般的方法 175
一、从柯西不等式的证明谈起 175
二、由特殊情况发现解题思路 177
第三节 分段处理的方法 190
一、什么是分段处理的方法 190
二、分段处理方法的具体运用 192
第四节 类比的方法 205
一、从一道试题看什么是类比法 205
二、运用类比法思考问题 209
三、运用类比法探求新知识 218
第五节 数形结合的方法 222
一、导数几何意义的利用 222
二、定积分几何意义的利用 231
第六节 从反面考虑的方法 239
一、反证法的运用 239
二、反例的运用 248
第四章 典型方法和常用技巧 250
第一节 怎样掌握验证极限的方法 250
第二节 如何运用极限定义论证问题 264
一、基本的数列极限论证问题 264
二、复合函数求极限定理的论证 270
三、分步处理的极限论证问题 274
第三节 柯西收敛准则的运用 281
第四节 数列极限的运算技巧 287
一、不等式的运用 288
二、求和求积的运用 296
三、特殊方法的运用 303
第五节 计算不定式极限的方法和技巧 313
一、无穷小代换法则的运用 314
二、洛必达法则的使用技巧 321
三、泰勒公式的运用 327
第六节 最大最小值问题 330
一、函数最大值与最小值的判断 331
二、解决最大最小值问题的一般方法 334
第七节 级数收敛性的判断技巧 338
一、正项级数收敛性的判断 338
二、变号级数收敛性的判断 343
第八节 函数列与函数项级数一致收敛性的判定 346
一、判定函数列一致收敛的方法 346
二、判定函数列不一致收敛的方法 352
三、判定函数项级数一致收敛的方法 357
四、判定函数项级数不一致收敛的方法 361
第九节 多元微分学中的两类问题 365
一、函数可微性的证明 365
二、偏导数恒等式的证明 367
第十节 怎样掌握曲面积分的计算 373
一、第一类曲面积分的计算 373
二、第二类曲面积分的计算 376
第十一节 利用对称性简化积分的计算 385
一、对称几何体上黎曼积分的一个定理 385
二、利用对称性计算积分的技巧 389
第十二节 含参变量积分的计算 392
第十三节 几个著名不等式及其应用 398
一、平均值不等式 399
二、柯西不等式 401
三、扬不等式 403
四、赫尔德不等式 404
第五章 习题与试题选编 407
第一节 选择题 407
第二节 计算题与证明题 419
第三节 综合自测题 458
一、一元函数微积分 458
二、级数与广义积分 462
三、多元函数微积分 467
第四节 中山大学数学系招考硕士研究生数学分析试题 471
一、1994年试题 471
二、1995年试题 476
三、1995年试题（港澳台考生） 480
四、1996年试题 482
五、1997年试题 486
六、1998年试题 489
附录 习题与试题答案 493
参考文献 509