第一章 线性空间与内积空间 1
集合与映射 1
集合及性质 1
集合的运算 2
映射 4
集合的基数 5
可数集与不可数集 6
实数集的确界存在原理 7
线性空间与线性算子 9
线性空间 9
线性子空间 11
线性空间的基与维数 13
线性算子 14
线性同构 15
内积空间 16
内积空间的定义及例 17
内积空间的几何 18
内积空间的线性子空间与同构 21
内积空间中的正交系 21
疑难问题解析 24
第二章 度量空间与赋范线性空间 27
赋范线性空间 27
赋范线性空间的定义及例 27
由范数导出的度量 30
收敛序列，连续映射 31
级数与Schauder基 34
完备的赋范线性空间 36
子空间 43
赋范线性空间中的点集 43
开集，闭集 43
集合的闭包 45
稠密集与可分空间 49
度量空间 51
度量空间 51
度量空间中的紧性 53
度量空间的完备化 54
有限维赋范线性空间 55
有限维赋范空间的完备性 55
有限维线性空间上范数的等价性 57
有限维赋范空间的特征 58
Banach压缩映射定理及其应用 60
Banach压缩映射定理 60
Banach压缩映射定理的应用 63
第三章Lebesgue积分与Lp空间 67
引言 67
Riemann积分的定义 67
Lebesgue积分的定义 69
集合的Lebesgue测度 69
可测函数 72
Lebesgue积分 74
有限测度集E上有界可测函数的积分 74
有限测度集E上无界非负可测函数的积分 81
可测集E上非负可测函数的积分 82
可测集E上任意可测函数的积分 82
Lebesgue积分的几个重要定理 84
Lp［a，b］空间 86
第四章 赋范线性空间上的有界线性算子 90
赋范线性空间上的有界线性算子 90
有界线性算子 90
线性算子的有界性和连续性 93
有界线性算子空间 94
有界线性算子代数B（X） 95
赋范线性空间上的有界线性泛函 96
赋范线性空间上的有界线性泛函 96
对偶空间 98
有限秩算子的构造 102
有限维空间上的线性算子 104
有限维空间上的线性算子的表示 104
Mn×n（C）上的方阵范数 106
方阵的谱半径 110
第五章 广义Fourier级数与最佳平方逼近 114
正交投影和广义Fourier级数 114
正交投影与正交分解 114
Fourier系数与Bessel不等式 117
完全标准正交系及其等价条件 119
函数的最佳平方逼近 122
最佳平方逼近问题 123
多项式逼近 126
用正交多项式作函数的最佳平方逼近 127
正交多项式 128
正交多项式的基本概念和性质 128
Legendre多项式 132
带权函数的正交多项式 138
曲线拟合的最小二乘法 142
曲线拟合的最小二乘问题 142
最小二乘解的求法 143
第六章 习题 147
线性空间与内积空间 147
度量空间与赋范线性空间 149
Lebesgue积分与Lp空间 153
赋范线性空间上的有界线性算子 154
Hilbert空间 157
广义Fourier级数与最佳平方逼近 159
附录 一些重要的不等式 161
Holder不等式 161
Minkowski不等式 163
参考文献 165