1 引论 1
1.1 复数 1
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复数的四则运算 2
1.1.3 复平面与复数的不同表示法 3
1.1.4 乘幂与方根 5
1.1.5 复球面与无穷远点 9
1.2 平面点集 10
1.2.1 区域 10
1.2.2 Jordan曲线、连通区域 12
习题 15
2 复变函数 17
2.1 连续函数 17
2.2 解析函数 19
2.2.1 复变函数的导数 19
2.2.2 解析函数 21
2.3 函数解析的充要条件 23
2.4 调和函数 27
2.4.1 调和函数的概念与实例 27
2.4.2 解析函数与调和函数的关系 28
2.5 初等解析函数 32
2.5.1 指数函数 32
2.5.2 对数函数 33
2.5.3 幂函数 36
2.5.4 三角函数与双曲函数 38
习题 41
3 复变函数的积分 43
3.1 复变函数的积分 43
3.1.1 积分的概念 43
3.1.2 积分存在的条件及积分的性质 44
3.2 Cauchy积分定理 49
3.3 Cauchy积分公式 52
3.4 解析函数的原函数 60
习题 64
4 复变函数的级数 68
4.1 复数项级数 68
4.1.1 复数列的极限 68
4.1.2 复数项级数 69
4.2 幂级数 71
4.2.1 幂级数的概念 71
4.2.2 幂级数的性质 75
4.3 Taylor级数 77
4.4 Laurent级数 87
习题 96
5 留数及其应用 99
5.1 孤立奇点 99
5.1.1 可去奇点 99
5.1.2 极点 101
5.1.3 本性奇点 103
5.2 留数的一般理论 104
5.2.1 留数定义及留数基本定理 104
5.2.2 留数的计算 105
5.3 函数在无穷远点的留数 110
5.3.1 函数在无穷远点的性质 110
5. 3.2 函数在无穷远点的留数 111
5.4 留数在定积分计算中的应用 115
5.4.1 三角有理式的积分 116
5.4.2 有理函数的无穷积分 118
5.4.3 有理函数与三角函数乘积的积分 121
习题 128
6 保角映射 131
6.1 映射与保角映射的概念 131
6.1.1 映射的概念 131
6.1.2 导数的几何意义 132
6.1.3 保角映射的概念 135
6.1.4 关于保角映射的一般理论 136
6.2 分式线性映射 137
6.2.1 分式线性映射的基本性质 139
6.2.2 惟一确定分式线性映射的条件 143
6.2.3 分式线性映射的典型例子 145
6.3 几个初等函数所构成的映射 149
6.3.1 幂函数w=zn及w=1/zn 149
6.3.2 指数函数w=ex和对数函数w=lnz 153
6.4 保角映射举例 154
习题 162
7 积分变换 166
7.1 积分变换的一般概念 166
7.2 Fourier变换 167
7.2.1 Fourier积分公式和Fourier变换 167
7.2.2 δ函数及其Fourier变换 173
7.3 Laplace变换的概念 177
7.3.1 Laplace变换的定义 177
7.3.2 周期函数和δ函数的Laplace变换 181
7.4 Laplace变换的性质（一） 184
7.5 Laplace变换的性质（二）——卷积定理 192
7.6 Laplace逆变换 196
7.7 Laplace变换的应用 202
习题 207
附录1 区域的变换表 212
附录2 Laplace变换简表 222
习题答案 228