第一篇 有限元法基础 3
第1章 有限元法构造……黄艾香 3
1.1 Galerkin变分原理和Ritz变分原理 3
1.2 Galerkin逼近解 7
1.3 有限元子空间 9
1.4 单元刚度矩阵和总刚度矩阵 16
第2章 单元及形状函数……黄艾香 21
2.1 矩形元素的形状函数 21
2.1.1 矩形元素的Lagrange型形状函数 22
2.1.2 矩形元素的Hermite型形状函数 25
2.2 三角形元素 28
2.2.1 面积坐标和体积坐标的概念 28
2.2.2 三角形元素的Lagrange型形状函数 31
2.2.3 三角形元素的Hermite型形状函数 35
2.3 三维元素的形状函数 43
2.3.1 六面体元素的Lagrange型形状函数 43
2.3.2 四面体元素的Lagrange型形状函数 44
2.3.3 三棱柱体元素的形状函数 46
2.3.4 四面体元素的Hermite型形状函数 47
2.4 等参数元素 48
2.5 曲边元素 51
第3章 有限元法解题过程……黄艾香 55
3.1 有限元法的计算流程 55
3.2 对称带状矩阵的一维存贮 62
3.3 数值积分 65
3.4 单元刚度矩阵的计算和总刚度矩阵的合成 68
3.4.1 形状函数的计算 68
3.4.2 单元刚度矩阵及单元列阵的计算 72
3.4.3 总刚度矩阵元素的迭加 73
3.5 有限元方程组的解法 75
3.5.1 对称、正定矩阵的分解 76
3.5.2 线性代数方程组的直接解法 78
3.6 约束条件的处理 81
3.6.1 强加约束条件的处理 81
3.6.2 周期性约束条件的处理 83
3.7 场函数数值导数的计算 90
第4章 Sobolev空间……李开泰 93
4.1 关于区域和某些记号 93
4.2 若干经典函数空间 94
4.3 Lp（Ω）空间 96
4.4 广义函数空间 98
4.5 整数阶Sobolev空间 100
4.6 实数阶Sobolev空间Hσ，p（Ω） 102
4.7 嵌入定理和插入不等式 104
4.8 迹空间 105
第5章 边值问题变分原理及有限元逼近解误差估计……李开泰5.1 椭圆边值问题 114
5.2 变分原理 117
5.3 有限元逼近解 129
5.4 坐标变换和等价有限元 130
5.4.1 仿射变换和仿射等价有限元 130
5.4.2 等参变换和等参有限元 132
5.5 有限元插值基本理论 135
5.5.1 若干引理 135
5.5.2 仿射等价有限元插值精度 136
5.5.3 等参有限元插值精度 138
5.5.4 C1类有限元插值 139
5.6 椭圆边值问题有限元逼近解精度 139
5.6.1 协调有限元 139
5.6.2 收敛性定理 140
5.6.3 Aubin-Nitsche引理和零阶模的估计 142
5.6.4 负范数估计 143
5.7 最大模估计 143
5.7.1 反假设 144
5.7.2 权半范 144
5.7.3 投影算子 146
5.7.4 最大模估计 147
参考文献 148
第二篇 非标准有限元法 161
第1章 混合元与杂交元……周天孝 陈掌星1.1 鞍点问题 161
1.2 混合元方法 164
1.3 二阶问题 166
1.4 混合元 167
1.4.1 三角混合元 167
1.4.2 矩形混合元 168
1.4.3 四面体混合元 169
1.4.4 六面体混合元 170
1.4.5 三棱柱混合元 172
1.4.6 混合元的逼近性质 173
1.5 作为有限元格式优化的杂交元方法 174
1.6 基于Hellinger-Reissner变分原理的杂交元 175
1.6.1 杂交变分原理 175
1.6.2 丰富应变位移和能量协调条件 177
1.6.3 秩条件和Pian-Sumihara杂交元的收敛性分析 178
1.7 组合杂交有限元法 183
1.7.1 组合杂交变分原理 183
1.7.2 高性能的组合杂交元CH（0-1） 186
1.7.3 组合杂交方法的能量零误差机制及对带drilling自由度的Allman三角形元的改进 189
参考文献 195
第2章 非协调元……陈掌星 王鸣 198
2.1 非协调元 198
2.2 Strang第二引理和Aubin-Nitsche技巧 199
2.3 二阶问题的非协调元 200
2.4 四阶问题的非协调元 203
2.5 非协调元的基本假设 209
2.6 非协调元的误差估计 211
2.7 收敛检验条件 212
参考文献 216
第3章 间断有限元……陈掌星 217
3.1 一阶问题 217
3.2 二阶问题 220
3.2.1 对称间断有限元 221
3.2.2 惩罚对称间断有限元 222
3.2.3 非对称间断有限元 223
3.2.4 惩罚非对称间断有限元 224
参考文献 225
第4章 边界元及与有限元耦合法……余德浩 何银年4.1 引言 226
4.2 经典边界归化 227
4.2.1 调和边值问题、Green公式和基本解 227
4.2.2 间接边界归化 229
4.2.3 直接边界归化 233
4.3 自然边界归化 234
4.3.1 自然边界归化原理 235
4.3.2 典型域上的自然边界归化 236
4.3.3 自然积分算子的性质 239
4.4 边界积分方程的数值解法 239
4.4.1 配置法 240
4.4.2 Galerkin法 240
4.4.3 一类超奇异积分方程的数值解法 241
4.5 有限元边界元耦合法 242
4.5.1 有限元法与边界元法比较 242
4.5.2 自然边界元与有限元耦合法原理 244
4.6 无穷远边界条件的近似 245
4.6.1 人工边界上的近似边界条件 246
4.6.2 近似积分边界条件与误差估计 247
4.7 区域分解算法 248
4.7.1 有界区域的区域分解算法 248
4.7.2 基于边界归化的区域分解算法 250
4.8 Navier-Stokes方程的有限元边界元耦合法 252
4.8.1 定常不可压Navier-Stokes方程的近似 253
4.8.2 近似Navier-Stokes问题（N-S）′的耦合变分形式 254
4.8.3 变分形式的适定性和正则性 256
4.8.4 有限元边界元耦合方法及其误差估计 257
参考文献 259
第5章 无限元……应隆安 260
5.1 典型问题 260
5.2 奇点问题 262
5.3 奇性计算与应力强度因子 272
5.4 外问题 273
5.5 奇性分解定理 274
5.6 极限情形 276
5.7 误差估计 282
5.8 算例 285
第6章 椭圆边值问题奇异性的结合法……李子才6.1 简介 295
6.2 Laplace方程在多边形上的奇异性 296
6.2.1 Neumann-Dirichlet边界条件 296
6.2.2 奇异性分析 299
6.2.3 其他边界条件下的特解 300
6.2.4 Motz问题 302
6.2.5 奇异性减慢收敛率 303
6.2.6 接近无穷时的特解形式 303
6.3 保角转换法（CTM） 304
6.3.1 基本思想 304
6.3.2 求展开解的演算法 309
6.4 局部加密法 310
6.5 奇异元素法 311
6.6 奇异函数法 311
6.7 h型及p型的结合法 313
6.8 结合法 314
6.8.1 一般性的描述 314
6.8.2 将非协调结合法视为Lagrange乘子法 315
6.8.3 不引入额外变数的结合技巧 317
6.8.4 结合法分析 320
参考文献 322
第7章 h-p有限元方法……郭本琦 326
7.1 引论 326
7.2 带权的Sobolev和可数赋范空间 327
7.3 椭圆型方程在不光滑区域上的正则性 330
7.4 几何网格上的有限元空间 339
7.5 h-p有限元的指数型收敛性 341
7.6 h-p有限元在计算力学上的应用 351
参考文献 358
第8章 特征值问题的有限元逼近……杨一都8.1 引言 360
8.2 Hilbert空间中自共轭全连续算子谱逼近 360
8.3 特征值问题的协调有限元逼近 362
8.3.1 基本结果 362
8.3.2 二阶椭圆微分算子特征值问题协调有限元法 365
8.3.3 四阶问题 371
8.3.4 凹角域问题等 372
8.4 特征值问题的非协调有限元逼近 372
8.4.1 基本结果 372
8.4.2 二阶问题Wilson非协调有限元法 374
8.4.3 平板振动问题非协调有限元法 375
8.4.4 非协调元与特征值下界 376
8.4.5 非协调有限元2网格法 377
8.5 特征值问题的混合有限元逼近 378
8.5.1 基本结果 378
8.5.2 薄膜振动混合有限元法 380
8.5.3 重调和算子特征值问题混合有限元法 381
参考文献 384