第1章 典型方程及其孤立波解 1
1.1 历史回顾 1
1.2 孤立波——非线性会聚和色散现象的巧妙平衡 4
1.2.1 波动中的非线性会聚现象 4
1.2.2 波动中的色散 6
1.2.3 两种效应的平衡——KdV方程的解释 7
1.3 KdV方程及其孤立波解 8
1.3.1 KdV方程的导出 8
1.3.2 KdV方程的孤立波解 12
1.3.3 广义KdV方程的孤立波解 16
1.4 非线性Schrodinger方程与光孤子 19
1.4.1 非线性Schrodinger方程的导出 19
1.4.2 非线性Schrodinger方程的单孤立波解 25
1.4.3 非线性Schrodinger方程行波形式的孤立波解 27
1.5 非线性Sine-Gordon方程 29
1.5.1 Josephson效应和非线性Sine-Gordon方程 29
1.5.2 非线性Sine-Gordon方程的孤立波解 31
1.5.3 非线性Sine-Gordon方程的呼吸子解 34
1.6 Burgers方程及其孤立波解 36
1.6.1 交通模型——Burgers方程的导出 36
1.6.2 Burgers方程的孤立波解 37
1.6.3 Hopf-Cole变换 38
第2章 反演散射方法与多孤立波解 40
2.1 散射与反散射问题 41
2.1.1 单孤子 41
2.1.2 双孤子解 42
2.2 散射数据随时间的演化 47
2.3 解KdV方程反散射法的具体过程和反演定理的证明 51
2.4 KdV方程的n孤子解 58
2.4.1 单孤子解 58
2.4.2 双孤子解 60
2.4.3 n孤子解 62
2.5 反演散射法的推广 69
2.5.1 Lax方程 69
2.5.2 AKNS方法 71
2.6 非线性Schrodinger方程的反演散射解法 76
2.6.1 基本思路 76
2.6.2 非线性Schrodinger方程Lax对的确定 76
2.6.3 直接散射问题（本征值问题） 78
2.6.4 散射数据随时间t的演化 81
2.6.5 逆散射变换 82
2.6.6 孤子解的构造 85
第3章 Backlund变换 91
3.1 Backlund变换的定义 92
3.2 KdV方程的Backlund变换 95
3.3 Backlund变换与AKNS系统 98
3.4 非线性叠加公式 101
3.4.1 KdV方程的非线性叠加公式 101
3.4.2 Sine-Gordon方程的非线性叠加公式 102
3.4.3 互换定理的证明 103
3.5 Backlund变换与反散射之间的关系 105
第4章 Darboux变换 110
4.1 概述 110
4.2 KP方程的Darboux变换 115
4.3 Darboux变换方法求耦合KdV-MKdV系统的新解 121
4.4 广义Darboux变换求解KdV方程和非线性Schrodinger的畸形波解 126
4.4.1 KdV方程广义Darboux变换 127
4.4.2 Schrodinger方程的广义Darboux变换 129
第5章 Painlevé性质与相似约化 132
5.1 可积性与Painlevé性质 132
5.2 WTC算法 137
5.3 相似变换与相似解 147
5.3.1 引言 147
5.3.2 偏微分方程的经典Lie群约化法 148
5.4 非经典无穷小变换方法 159
5.5 求相似解的直接方法（CK方法） 164
第6章 Hirota双线性方法 175
6.1 Hirota双线性变换的相关概念与性质 175
6.1.1 基本概念 175
6.1.2 Hirota双线性方法的具体步骤 176
6.2 Hirota方法用于高阶方程和变系数方程 185
6.2.1 四阶非线性Schrodinger方程的Hirota方法求解 185
6.2.2 求解2＋1维Kadomtsev-Petviashvili型方程的Backlund变换和孤子解 187
6.3 非线性偏微分方程的几种解法之间的关系 189
6.3.1 引言 189
6.3.2 Backlund变换法和Hirota双线性方法的区别与联系 190
第7章 特殊变换法求解非线性偏微分方程 199
7.1 齐次平衡方法 199
7.1.1 方法概述 199
7.1.2 用齐次平衡方法求解KdV-Burgers方程 200
7.1.3 用齐次平衡方法求解非线性方程组 202
7.2 函数展开方法 203
7.2.1 tanh函数法 204
7.2.2 Jacobi椭圆函数展开法 205
7.2.3 函数展开法的扩展 207
7.3 首次积分法 212
7.3.1 首次积分法的基本原理 212
7.3.2 利用首次积分法求解Fitzhugh-Nagumo方程 214
7.3.3 Fisher方程的精确解 218
7.4 Wronskian行列式法 221
附录A 椭圆函数与椭圆方程 230
A1 椭圆函数 230
A1.1 问题的提出 230
A1.2 椭圆积分的定义 230
A1.3 椭圆函数 231
A1.4 椭圆函数的性质 232
A2 Jacobi椭圆函数与椭圆方程 234
附录B 首次积分与一阶偏微分方程 237
B1 一阶常微分方程组的首次积分 237
B1.1 首次积分的定义 237
B1.2 首次积分的性质和存在性 239
B2 一阶线性偏微分方程的解法 245
B2.1 一阶线性齐次偏微分方程 245
B2.2 一阶拟线性偏微分方程 247
附录C 与波动相关的概念和术语 250
C1 基本概念 250
C2 线性波与非线性波 251
C3 色散波 252
C4 线性波和非线性波的色散 255
C4.1 线性波的色散 255
C4.2 非线性波的色散 258
参考文献 260