第1章 绪论 1
1.1 引入与基本概念 1
1.2 典型方程的导出 5
1.3 定解条件与定解问题 11
1.4 定解问题的适定性 15
1.5 线性叠加原理 19
1.6 在数学建模中的应用一例：阿米巴变形虫的生态模型 21
习题1 25
第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型 31
2.1 两个自变量方程的分类与化简 31
2.2 多个自变量方程的分类 42
习题2 46
第3章 波动方程的初值问题与行波法 48
3.1 一维波动方程的初值问题 48
3.2 三维波动方程的初值问题 75
3.3 二维波动方程的初值问题 86
3.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥 90
3.5 应用：系统的精确可控性——以弦振动方程为例 93
习题3 98
第4章 分离变量法 101
4.1 正交函数系和广义傅里叶级数 101
4.2 施图姆-刘维尔特征值问题 104
4.3 齐次方程和齐次边界条件的定解问题 114
4.4 非齐次方程和齐次边界条件的定解问题 136
4.5 非齐次边界条件的处理 143
4.6 应用：量子力学中的一些思想 147
习题4 148
第5章 傅里叶变换 154
5.1 傅里叶变换的定义 154
5.2 傅里叶变换的性质 158
5.3 傅里叶变换的应用 163
5.4 拓展：傅里叶变换在海洋学中的应用一例 173
习题5 179
第6章 拉普拉斯变换 183
6.1 拉普拉斯变换的定义与性质 183
6.2 拉普拉斯变换的应用 189
6.3 应用：拉普拉斯变换方法求解大气对流扩散方程 195
习题6 198
第7章 格林函数方法 201
7.1 格林公式及其应用 201
7.2 格林函数及其性质 205
7.3 一些特殊区域上格林函数和拉普拉斯方程的Dirichlet问题的解 207
7.4 拉普拉斯方程的基本解 215
7.5 发展方程的基本解和格林函数方法 219
7.6 应用：地温问题的求解 224
习题7 226
第8章 极值原理与能量方法 230
8.1 极值原理及其应用 230
8.2 能量方法及其应用 240
习题8 254
第9章 特殊函数及其应用 258
9.1 特殊函数概述 258
9.2 贝塞尔函数及其性质 262
9.3 勒让德函数及其性质 271
9.4 特殊函数的应用 278
习题9 284
参考文献 286
附录 287