第1章 绪论 1
1.1 数值计算方法的研究对象和特点 1
1.2 误差的基本概念 2
1.2.1 误差的来源 2
1.2.2 绝对误差和相对误差 3
1.2.3 有效数字 4
1.3 误差传播 6
1.3.1 四则运算的误差传播 6
1.3.2 函数计算的误差传播 7
1.4 数值计算应注意的问题 8
1.4.1 避免两个相近的数相减 8
1.4.2 避免大数“吃掉”小数 9
1.4.3 避免绝对值太小的数作除数 9
1.4.4 简化计算过程，减少运算次数，提高效率 9
1.4.5 选用数值稳定的算法 10
第2章 解线性方程组的直接方法 12
2.1 Gauss（高斯）消去法 12
2.1.1 Gauss消元算法原理 12
2.1.2 Gauss消去法的计算量 13
2.1.3 Gauss消去法编程 14
2.2 Gauss-Jordan（高斯-若当）消去法 16
2.2.1 Gauss-Jordan消元算法原理 16
2.2.2 Gauss-Jordan消去法编程 18
2.3 Gauss主元素消去法 21
2.3.1 Gauss主元素消元算法原理 21
2.3.2 Gauss主元素消去法编程 23
2.4 直接三角分解法 25
2.4.1 直接三角分解算法原理 25
2.4.2 直接三角分解法编程 28
2.5 解三对角方程组的追赶法 31
2.5.1 追赶法原理 31
2.5.2 追赶法编程 33
第3章 解线性方程组的迭代法 36
3.1 Jacobi（雅可比）迭代法 36
3.1.1 Jacobi迭代法 36
3.1.2 Jacobi迭代法编程 38
3.2 Gauss-Seidel（高斯-赛德尔）迭代法 40
3.2.1 Gauss-Seidel迭代法 40
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法编程 42
3.3 超松弛迭代法 44
3.3.1 超松弛迭代法 44
3.3.2 超松弛迭代法编程 49
第4章 插值法 51
4.1 Lagrange（拉格朗日）插值 51
4.1.1 一次插值 51
4.1.2 二次插值 52
4.1.3 Lagrange插值多项式 53
4.1.4 Lagrange插值余项 54
4.1.5 Lagrange插值编程 54
4.2 Newton（牛顿）插值 56
4.2.1 均差及其性质 56
4.2.2 差分及其运算性质 58
4.2.3 等距节点的Newton插值公式 60
4.2.4 Newton插值编程 61
4.3 Hermite（埃尔米特）插值 63
4.3.1 Hermite插值原理 63
4.3.2 Hermite插值编程 66
4.4 三次样条插值 69
4.4.1 三次样条函数 69
4.4.2 三转角方程 70
4.4.3 三弯矩方程 73
4.4.4 三次样条插值法计算步骤 74
4.4.5 三次样条插值法编程 76
第5章 函数逼近 79
5.1 最佳一致逼近多项式 80
5.1.1 最佳一致逼近多项式的存在性 80
5.1.2 Chebyshev（切比雪夫）定理 80
5.1.3 最佳一次逼近多项式 81
5.1.4 最佳一致逼近多项式编程 82
5.2 最佳平方逼近多项式 84
5.2.1 内积空间 84
5.2.2 函数的最佳平方逼近 86
5.2.3 最佳平方逼近多项式编程 88
5.3 函数按正交多项式展开 89
5.3.1 Legendre（勒让德）正交多项式 89
5.3.2 函数按Legendre多项式展开 90
5.3.3 按正交多项式逼近函数编程 92
5.4 曲线拟合的最小二乘法 93
5.4.1 最小二乘法原理 93
5.4.2 最小二乘法编程 95
第6章 数值积分 98
6.1 插值型求积公式的构造 98
6.2 Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）求积公式 99
6.2.1 公式推导 99
6.2.2 误差分析 101
6.2.3 Newton-Cotes公式编程 103
6.3 复合求积公式 104
6.3.1 公式推导 104
6.3.2 误差分析 105
6.3.3 复合求积公式编程 107
6.4 Romberg（龙贝格）求积公式 111
6.4.1 积分步长的自动选择 111
6.4.2 Romberg积分算法 112
6.4.3 Romberg求积公式编程 115
6.5 Gauss求积公式 117
6.5.1 Gauss点 117
6.5.2 Gauss-Legendre公式 118
6.5.3 Gauss公式的余项 119
6.5.4 Gauss公式的稳定性 119
6.5.5 Gauss-Legendre公式编程 120
第7章 数值微分 123
7.1 中点方法 123
7.1.1 中点方法原理 123
7.1.2 中点方法编程 124
7.2 插值型求导公式 125
7.2.1 插值型求导原理 125
7.2.2 插值型求导编程 128
第8章 矩阵的特征值与特征向量的计算 131
8.1 幂法与反幂法 132
8.1.1 幂法 132
8.1.2 幂法编程 133
8.1.3 原点平移法 136
8.1.4 反幂法 138
8.1.5 反幂法编程 139
8.2 Jacobi方法 141
8.2.1 Jacobi方法的理论基础 142
8.2.2 旋转变换 142
8.2.3 Jacobi方法 143
8.2.4 Jacobi方法编程 147
8.3 QR算法 149
8.3.1 QR算法原理 151
8.3.2 Schmit（施密特）正交化的QR分解方法 151
8.3.3 基于Householder（豪斯霍尔德）变换的QR分解方法 153
8.3.4 基于Givens（吉文斯）变换的QR分解方法 158
8.3.5 QR算法编程 161
第9章 非线性方程求根 165
9.1 二分法 165
9.1.1 二分法原理 165
9.1.2 二分法编程 167
9.2 迭代法 169
9.2.1 迭代法原理 169
9.2.2 迭代法编程 170
9.2.3 迭代公式的加工 171
9.2.4 Aitken（艾特肯）法 172
9.3 Newton法 173
9.3.1 Newton法计算公式 173
9.3.2 Newton法编程 175
9.4 弦截法 176
9.4.1 弦截法原理 176
9.4.2 弦截法编程 177
9.5 抛物线法 179
9.5.1 抛物线法原理 179
9.5.2 抛物线法编程 182
第10章 常微分方程初值问题的数值解法 184
10.1 Euler（欧拉）公式 184
10.1.1 Euler公式的推导 184
10.1.2 Euler公式编程 185
10.2 后退的Euler公式 187
10.2.1 后退Euler公式的推导 187
10.2.2 后退Euler公式编程 188
10.3 梯形Euler公式 190
10.3.1 梯形Euler公式的推导 190
10.3.2 梯形Euler公式编程 190
10.4 改进的Euler公式 192
10.4.1 改进Euler公式的推导 192
10.4.2 改进Euler公式编程 193
10.5 Euler两步法 195
10.5.1 Euler两步法公式的推导 195
10.5.2 Euler两步法公式编程 196
10.6 Runge-Kutta（龙格-库塔）方法 199
10.6.1 二阶Runge-Kutta方法 199
10.6.2 高阶Runge-Kutta方法 200
10.6.3 四阶Runge-Kutta方法的编程 203
10.7 高阶微分方程或一阶微分方程组求解 205
第11章 常微分方程边值问题的数值解法 208
11.1 试射法 208
11.1.1 试射法原理 208
11.1.2 试射法编程 211
11.2 差分方法 215
11.2.1 数值微分格式 215
11.2.2 边值问题的差分算法 217
11.2.3 差分方法编程 220
第12章 偏微分方程的数值解法基础 223
12.1 椭圆型微分方程 225
12.1.1 Laplace（拉普拉斯）差分方程 225
12.1.2 线性方程组的建立 226
12.1.3 边界的导数 227
12.1.4 求解Laplace差分方程的迭代法 229
12.1.5 Laplace差分方程迭代法编程 231
12.1.6 Poisson（泊松）方程和Helmholtz（亥姆霍兹）方程 233
12.1.7 Helmholtz方程求解编程 233
12.2 抛物型微分方程 235
12.2.1 热传导方程 235
12.2.2 差分方程的推导 236
12.2.3 Crank-Nicholson（克兰克-尼克尔森）方法 238
12.2.4 Crank-Nicholson方法编程 241
12.3 双曲型微分方程 243
12.3.1 波动方程 243
12.3.2 微分方程的导出 243
12.3.3 计算初值的确定 244
12.3.4 D’Alembert（达朗贝尔）算法 245
12.3.5 D’Alembert算法编程 247
第13章 海洋工程典型问题的数值计算 250
13.1 船体结构中杆系计算的位移法 250
13.1.1 位移法的原理 251
13.1.2 位移法计算步骤 253
13.1.3 工程算例 253
13.2 长期极值波高的Weibull（威布尔）统计分布 261
13.2.1 Weibull分布 261
13.2.2 非线性最小二乘法的原理 261
13.2.3 对Weibull分布参数的拟合 263
13.2.4 分布拟合的检验 263
13.2.5 工程算例 264
13.2.6 结语 266
13.3 海浪谱矩的计算 266
13.3.1 特征波高与谱矩的关系 267
13.3.2 工程算例 267
13.4 年极值水位的灰色马尔科夫预报模型 268
13.4.1 改进的GM（1，1）求解方法 269
13.4.2 马尔科夫预报模型 270
13.4.3 灰色马尔科夫预报原理 270
13.4.4 年极值水位的灰色马尔科夫预报 273
13.4.5 结语 274
13.5 港口工程项目比选的层次分析 274
13.5.1 层次分析法的基本原理 274
13.5.2 码头设计方案选优的层次分析 277
13.5.3 结语 280
13.6 串联多自由度系统结构动力特性求解 281
13.6.1 系统动力特性的基本概念 281
13.6.2 工程算例 282
13.7 Stokes（斯托克斯）的5阶波浪理论 286
13.7.1 Stokes波理论的5阶近似解的计算原理 287
13.7.2 算法流程 289
13.7.3 工程算例 289
13.8 基于射线理论的波浪折射模型 290
13.8.1 基本方程的导出 291
13.8.2 数值求解微分方程组 292
13.8.3 数值计算实例 293
13.9 平直岸线上突堤建设后泥沙淤积计算 294
13.9.1 岸线变形计算的一线模型 294
13.9.2 岸线变形计算的数值方法 299
习题 302
参考文献 309