第1章 绪论 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 定义与例子 1
1.1.2 叠加原理 3
1.2 定解问题 5
1.2.1 定解条件与定解问题 5
1.2.2 定解问题的适定性 7
1.3 二阶半线性方程的分类与标准型 8
1.3.1 多个自变量的方程 8
1.3.2 两个自变量的方程 10
1.3.3 方程化为标准型 13
习题1 18
第2章 一阶拟线性方程 23
2.1 一般理论 23
2.1.1 特征曲线与积分曲面 23
2.1.2 初值问题 25
2.1.3 例题 29
2.2 传输方程 32
2.2.1 齐次方程的初值问题 行波解 33
2.2.2 非齐次传输方程 34
习题2 35
第3章 波动方程 36
3.1 一维波动方程的初值问题 37
3.1.1 d’Alembert公式 反射法 37
3.1.2 依赖区域 决定区域 影响区域 40
3.1.3 初值问题的弱解 41
3.2 一维波动方程的初边值问题 42
3.2.1 齐次方程的初边值问题 特征线法 43
3.2.2 齐次方程的初边值问题 分离变量法 45
3.2.3 非齐次方程的初边值问题 特征函数展开法 48
3.3 Sturm-Liouville特征值问题 51
3.3.1 特征函数的性质 53
3.3.2 特征值与特征函数的存在性 54
3.3.3 特征函数系的完备性 58
3.3.4 例题 60
3.4 高维波动方程的初值问题 66
3.4.1 球面平均法Kirchhoff公式 66
3.4.2 降维法Poisson公式 70
3.4.3 非齐次方程Duhamel原理 72
3.4.4 Huygens原理 波的弥散 74
3.5 能量法 解的唯一性与稳定性 76
3.5.1 能量等式 初边值问题解的唯一性 77
3.5.2 能量不等式 初边值问题解的稳定性 78
3.5.3 初值问题解的唯一性 81
习题3 83
第4章 热传导方程 91
4.1 初值问题 92
4.1.1 Fourier变换及其性质 93
4.1.2 解初值问题 95
4.1.3 解的存在性 97
4.2 最大值原理及其应用 100
4.2.1 最大值原理 100
4.2.2 初边值问题解的唯一性与稳定性 102
4.2.3 初值问题解的唯一性与稳定性 103
4.2.4 例题 104
4.3 强最大值原理 111
习题4 115
第5章 位势方程 121
5.1 基本解 121
5.1.1 基本解Green公式 122
5.1.2 平均值等式 124
5.1.3 最大最小值原理及其应用 125
5.2 Green函数 128
5.2.1 Green函数的导出及其性质 128
5.2.2 球上的Green函数Poisson积分公式 130
5.2.3 上半空间上的Green函数 132
5.2.4 球上Dirichlet问题解的存在性 134
5.2.5 能量法 136
5.3 调和函数的基本性质 138
5.3.1 逆平均值性质 138
5.3.2 Harnack不等式 139
5.3.3 Liouville定理 140
5.3.4 奇点可去性定理 141
5.3.5 正则性 141
5.3.6 微商的局部估计 143
5.3.7 解析性 144
5.3.8 例题 145
5.4 Hopf最大值原理及其应用 151
5.4.1 Hopf最大值原理 151
5.4.2 应用 152
5.5 位势方程的弱解 153
5.5.1 伴随微分算子与伴随边值问题 153
5.5.2 弱微商及其简单性质 156
5.5.3 Sobolev空间H1（Ω）与H10（Ω） 159
5.5.4 弱解的存在唯一性 162
习题5 165
第6章 变分法与边值问题 171
6.1 边值问题与算子方程 171
6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理 171
6.1.2 正算子与算子方程 172
6.1.3 正定算子 弱解存在性 176
6.2 Laplace算子的特征值问题 182
6.2.1 特征值与特征函数的存在性 182
6.2.2 特征值与特征函数的性质 186
习题6 188
第7章 特征理论 偏微分方程组 191
7.1 方程的特征理论 191
7.1.1 弱间断解与弱间断面 191
7.1.2 特征方程与特征曲面 193
7.2 方程组的特征理论 197
7.2.1 弱间断解与特征线 198
7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型 200
7.3 双曲型方程组的Cauchy问题 202
7.3.1 解的存在性与唯一性 203
7.3.2 解的稳定性 206
7.4 Cauchy-Kovalevskaja定理 206
7.4.1 Cauchy-Kovalevskaja型方程组 207
7.4.2 Cauchy问题的化简 207
7.4.3 强函数 209
7.4.4 Cauchy-Kovalevskaja定理的证明 211
习题7 213
第8章 广义函数与基本解 218
8.1 基本空间 218
8.1.1 引言 218
8.1.2 基本空间D（RN）和ε（RB） 220
8.1.3 基本空间φ（RN）及其上的Fourier变换 221
8.2 广义函数空间 229
8.2.1 概念与例子 229
8.2.2 广义函数的收敛性 230
8.2.3 自变量的变换 233
8.2.4 广义函数的微商与乘子 234
8.2.5 广义函数的支集 236
8.2.6 广义函数的卷积 238
8.2.7 φ’空间上的Fourier变换 243
8.3 基本解 246
8.3.1 基本解的概念 246
8.3.2 热传导方程及其Cauchy问题的基本解 249
8.3.3 波动方程Cauchy问题的基本解 251
8.3.4 调和、重调和及多调和算子的基本解 252
习题8 255
索引 260