第一章 曲线论 1
1向量函数 1
1.1向量函数的极限 1
1.2向量函数的连续性 4
1.3向量函数的微商 5
1.4向量函数的泰勒（Taylor）公式 7
1.5向量函数的积分 8
2曲线的概念 13
2.1曲线的概念 13
2.2光滑曲线 曲线的正常点 17
2.3曲线的切线和法面 18
2.4曲线的弧长 自然参数 23
3空间曲线 29
3.1空间曲线的密切平面 29
3.2空间曲线的基本三棱形 33
3.3空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式 37
3.4空间曲线在一点邻近的结构 44
3.5空间曲线论的基本定理 48
3.6一般螺线 52
第二章 曲面论 57
1曲面的概念 57
1.1简单曲面及其参数表示 57
1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线 60
1.3曲面上的曲线族和曲线网 66
2曲面的第一基本形式 69
2.1曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 69
2.2曲面上两方向的交角 72
2.3正交曲线族和正交轨线 73
2.4曲面域的面积 74
2.5等距变换 76
2.6保角变换 79
3曲面的第二基本形式 82
3.1曲面的第二基本形式 82
3.2曲面上曲线的曲率 87
3.3迪潘（Dupin）指标线 91
3.4曲面的渐近方向和共轭方向 93
3.5曲面的主方向和曲率线 96
3.6曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率 100
3.7曲面在一点邻近的结构 105
3.8高斯曲率的几何意义 109
4直纹面和可展曲面 115
4.1直纹面 115
4.2可展曲面 120
4.3线汇 129
5曲面论的基本定理 131
5.1曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号 132
5.2曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式 135
5.3曲面论的基本定理 140
6曲面上的测地线 146
6.1曲面上曲线的测地曲率 146
6.2曲面上的测地线 149
6.3曲面上的半测地坐标网 152
6.4曲面上测地线的短程性 154
6.5高斯-波涅（Gauss-Bonnet）公式 158
6.6曲面上向量的平行移动 161
6.7极小曲面 167
7常高斯曲率的曲面 172
7.1常高斯曲率的曲面 172
7.2伪球面 174
7.3罗氏几何 178
第三章 外微分形式和活动标架 185
1外微分形式 185
1.1格拉斯曼（Grassmann）代数 185
1.2外微分形式 190
1.3弗罗贝尼乌斯（Frobenius）定理 199
2活动标架 214
2.1合同变换群 214
2.2活动标架 217
2.3活动标架法 226
3用活动标架法研究曲面 229
3.1曲面论的基本定理 229
3.2曲面的第一和第二基本形式 230
3.3曲面上的曲线 法曲率 测地曲率和测地挠率 231
3.4曲面的主曲率 欧拉公式 高斯曲率和平均曲率 234
3.5曲面上向量的平行移动 236
3.6闭曲面的高斯-波涅公式 239
第四章 整体微分几何初步 244
1平面曲线的整体性质 244
1.1旋转数 245
1.2凸曲线 251
1.3等周不等式 257
1.4四顶点定理 260
1.5等宽曲线 262
1.6平面上的Crofton公式 264
2空间曲线的整体性质 268
2.1 Fenchel定理 268
2.2球面上的Crofton公式 275
2.3 Fary-Milnor定理 278
2.4闭曲线的全挠率 282
3曲面的整体性质 286
3.1曲面的整体定义 286
3.2曲面的一般性质 291
3.3卵形面 294
3.4完备曲面 313
3.5负常高斯曲率的曲面 321
4完备曲面的比较定理 330
4.1完备曲面上的极坐标系 330
4.2比较定理 332
4.3完备曲面上的比较定理 336
名词索引 344