第1章 绪论 1
1.1 非光滑问题背景 1
1.2 局部Lipschitz函数 3
1.3 可微与方向可微 5
第2章 凸集 10
2.1 基本概念 10
2.1.1 集与凸组合 10
2.1.2 集的代数运算 14
2.2 锥与极锥 15
2.2.1 锥、凸锥与锥包 15
2.2.2 极锥 18
2.3 集上的投影 19
2.3.1 投影的存在性与唯一性 19
2.3.2 投影的性质 21
2.3.3 凸锥的投影 22
2.4 集的分离 23
2.4.1 分离定理 24
2.4.2 Farkas引理和Gordan定理 26
2.5 多面体的极点和极方向 27
2.6 相对内部 29
2.6.1 仿射集 29
2.6.2 相对内部的基本概念 31
第3章 凸函数 35
3.1 基本性质 35
3.1.1 函数定义与常见凸函数 35
3.1.2 正齐次函数 37
3.2 函数的保凸运算 39
3.2.1 复合运算 39
3.2.2 凸函数与上图的关系 40
3.2.3 卷积 43
3.2.4 最大值函数 45
3.2.5 函数的凸包与闭包 46
3.2.6 共轭函数 48
3.3 凸函数的连续性 49
3.4 光滑凸函数的微分 53
第4章 集值分析 57
4.1 集合序列的极限 57
4.2 集值映射 59
4.2.1 基本概念 59
4.2.2 集值映射的半连续性 61
第5章 集合的切锥和法锥 67
5.1 切锥的基本性质 67
5.1.1 Bouligand切锥 67
5.1.2 可行方向锥 70
5.2 法方向与法锥 71
5.2.1 极锥与法锥 71
5.2.2 近似法锥 73
5.3 切锥的计算 73
5.4 凸集的切锥与法锥 75
5.4.1 凸集的切锥 75
5.4.2 凸集的法锥 76
第6章 凸函数的次微分 78
6.1 定义及有关性质 78
6.1.1 凸函数的方向导数 78
6.1.2 次微分定义和基本性质 79
6.1.3 次微分与方向导数的关系 81
6.1.4 次微分与上图的法锥的关系 82
6.1.5 光滑凸函数的次微分 83
6.2 极值条件与中值定理 84
6.2.1 极值条件 84
6.2.2 中值定理 85
6.3 一些凸函数的次微分 87
6.3.1 支撑函数的次微分 87
6.3.2 距离函数的次微分 87
6.3.3 复合函数的次微分 90
6.3.4 极大值函数的次微分 91
6.4 次微分的单调性和连续性 94
6.4.1 单调性 94
6.4.2 次微分的上半连续性 95
6.5 近似次微分和近似方向导数 96
6.5.1 近似次微分 96
6.5.2 近似方向导数 98
第7章 局部Lipschitz函数的广义梯度 101
7.1 广义梯度基本性质 101
7.1.1 广义方向导数 101
7.1.2 广义梯度定义和性质 103
7.2 可微性与正则性 105
7.2.1 可微性 105
7.2.2 正则性 107
7.3 中值定理与链锁法则 110
7.3.1 极值条件 110
7.3.2 中值定理 110
7.3.3 链锁法则 111
7.4 广义梯度公式及广义雅可比 115
7.4.1 广义梯度公式 115
7.4.2 广义雅可比 117
7.5 极大值函数广义雅可比的计算 118
7.5.1 极大值函数 118
7.5.2 线性函数的极大值 121
7.5.3 极大值函数的复合 123
第8章 拟可微函数及拟微分 125
8.1 拟微分的基本性质 125
8.1.1 基本概念 125
8.1.2 链锁法则 126
8.1.3 极值条件 131
8.2 极大值复合函数 133
8.3 拟微分表示广义梯度 135
8.3.1 紧集差的定义 135
8.3.2 表示广义梯度 136
8.3.3 多面体公式 138
第9章 最优性条件 142
9.1 优化的最优性条件 142
9.1.1 一般约束情形 142
9.1.2 不等式约束情形 145
9.1.3 线性等式约束情形 147
9.1.4 等式和不等式约束情形 148
9.2 Lipschitz优化的最优性条件 149
9.2.1 不等式约束情形 149
9.2.2 等式与不等式约束情形 150
9.3 拟可微优化的最优性条件 153
9.3.1 几何形式最优性条件 154
9.3.2 含有乘子的最优性条件 154
第10章 非光滑优化算法 157
10.1 下降方向的计算 157
10.1.1 广义梯度确定的下降方向 157
10.1.2 函数次微分确定的下降方向 159
10.2 次梯度法 162
10.2.1 算法步骤 163
10.2.2 收敛性分析 163
10.3 割平面法 168
10.3.1 算法步骤 168
10.3.2 收敛性分析 170
10.4 光滑化方法 171
10.4.1 绝对值函数的光滑化 171
10.4.2 光滑化基本概念 172
10.4.3 极大值函数光滑化 173
10.4.4 plus函数的光滑逼近 173
10.4.5 收敛性分析 177
第11章 非光滑方程组及非线性互补问题 179
11.1 半光滑函数及其性质 179
11.2 牛顿法 184
11.2.1 牛顿法及收敛性 184
11.2.2 不精确牛顿法及收敛性 186
11.3 复合函数的牛顿法 189
11.3.1 牛顿法及收敛性 189
11.3.2 不精确牛顿法及收敛性 191
11.4 非线性互补问题 194
11.4.1 互补问题的背景 194
11.4.2 非线性互补函数 196
第12章 控制系统的生存性 198
12.1 微分包含与生存性 198
12.1.1 微分包含 198
12.1.2 生存性基本概念 199
12.2 生存性判别 200
12.2.1 微分包含生存性判别 201
12.2.2 仿射非线性控制系统生存性判别 204
12.3 线性系统多面体生存域 206
12.3.1 生存域的性质 206
12.3.2 生存性判别方法 207
12.3.3 生存性设计 209
12.4 过程的多面体生存域 210
参考文献 213
索引 218
《运筹与管理科学丛书》已出版书目 221