第一篇 高等数学 2
第一章 函数、极限和连续 2
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 2
一、函数的基本性质 2
二、分段函数 6
三、反函数 6
四、复合函数 7
五、初等函数 10
六、函数的极限及其连续性 10
七、重要公式和定理 15
第二节 重要题型的解题方法和技巧 22
题型一 未定式的定值法 22
题型二 类未定式的计算 26
题型三 数列的极限 27
题型四 极限式中常数的确定（重点） 32
题型五 函数连续或间断点的判定 35
第三节 思维定势及综合题解析 37
一、思维定势 37
二、综合题解析 41
习题一 42
第二章 导数与微分 46
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 46
一、导数与微分的定义 46
二、重要定理 50
三、导数与微分的运算法则 50
四、基本公式 50
五、弧微分与曲率 51
六、高阶导数的定义与基本公式 52
第二节 重要题型的解题方法和技巧 52
题型一 求复合函数的导数或微分 52
题型二 求参数方程的导数或微分 54
题型三 求隐函数的导数或微分 55
题型四 求幂指函数的导数或微分 55
题型五 求表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分 56
题型六 求分段函数的导数或微分 56
题型七 求高阶导数 57
第三节 思维定势及综合题解析 61
一、思维定势 61
二、综合题解析 61
习题二 64
第三章 不定积分 67
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 67
一、不定积分的基本概念 67
二、基本性质 67
三、基本公式 68
四、基本积分法 69
第二节 重要题型的解题方法和技巧 86
题型一 有理函数的不定积分 86
题型二 简单无理函数的不定积分 87
题型三 三角有理式的不定积分 88
题型四 含有反三角函数的不定积分 92
题型五 抽象函数的不定积分 92
题型六 分段函数的不定积分 93
第三节 思维定势及综合题解析 94
一、思维定势 94
二、综合题解析 95
习题三 97
第四章 定积分及反常积分 101
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 101
一、基本性质 101
二、定理和公式 104
三、定积分的计算法 107
四、反常积分的基本概念 111
第二节 重要题型的解题方法和技巧 112
题型一 分段函数的定积分 112
题型二 被积函数带有绝对值符号的定积分 114
题型三 被积函数中含有“变限积分” 的定积分 115
题型四 对称区间上的定积分 117
题型五 被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的定积分 118
题型六 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的定积分 119
题型七 已知一定积分，求另一定积分 120
题型八 定积分等式的证明 121
题型九 定积分不等式的证明 129
题型十 计算反常积分 134
题型十一 反常积分的判敛 135
第三节 思维定势及综合题解析 136
一、思维定势 136
二、综合题解析 137
习题四 138
第五章 微分中值定理 142
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 142
第二节 重要题型的解题方法和技巧 143
题型一 闭区间上连续函数命题的证明 143
题型二 证明给出的函数f（x）满足某中值定理 146
题型三 证明某个函数恒等于一个常数的命题 147
题型四 命题f（n）（ξ）＝0的证明 148
题型五 欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（k≠0）或由a，b，f（a），f（b），ξ，f（ξ）， f′（ξ），…，f（n）（ξ）所构成的代数式成立 149
题型六 欲证结证：在（a，b）内至少存在两点ξ，η（ξ≠η）满足某个代数式 152
第三节 思维定势及综合题解析 153
一、思维定势 153
二、综合题解析 155
习题五 156
第六章 常微分方程 159
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 159
一、基本概念 159
二、二阶线性微分方程解的结构 159
三、二阶常系数线性微分方程 161
四、n阶常系数线性微分方程 161
第二节 重要题型的解题方法和技巧 164
题型一 一阶微分方程的计算 164
题型二 可降阶的高阶方程的求解 173
题型三 计算二阶线性微分方程 174
题型四 欧拉方程的计算 177
题型五 微分方程的应用 179
第三节 思维定势及综合题解析 182
一、思维定势 182
二、综合题解析 182
习题六 184
第七章 一元微积分的应用 187
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 187
一、函数的单调增减性定理 187
二、函数的极值与最值 188
三、函数凹凸性的判别与函数的拐点 189
四、微元法及其应用 191
第二节 重要题型的解题方法和技巧 193
题型一 求函数的极值 193
题型二 求函数的最值 194
题型三 关于方程根的讨论 195
题型四 函数渐近线的求解 200
题型五 函数作图 201
题型六 求平面图形的面积 202
题型七 求立体的体积 204
题型八 求平面曲线的弧长 205
题型九 求旋转体的侧面积 206
题型十 变力做功、引力、液体的静压力 207
第三节 思维定势与综合题解析 210
一、思维定势 210
二、综合题解析 211
习题七 214
第八章 无穷级数 217
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 217
一、无穷级数的基本概念和性质 217
二、数项级数判敛法 218
三、函数项级数的概念 223
四、幂级数的概念和性质 223
五、傅里叶级数的概念及定理 225
第二节 重要题型的解题方法和技巧 228
题型一 正项级数的判敛 228
题型二 任意项级数的判敛 229
题型三 级数的证明或判敛 231
题型四 计算函数项级数收敛域 233
题型五 求幂级数的收敛域、收敛半径 235
题型六 函数在某点的幂级数展开 236
题型七 幂级数求和 238
题型八 数项级数求和 242
题型九 周期与非周期函数的傅里叶级数 245
第三节 思维定势及综合题解析 248
一、思维定势 248
二、综合题解析 248
习题八 250
第九章 矢量代数与空间解析几何 254
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 254
一、矢量的概念及其性质 254
二、平面与直线 259
三、投影方程 260
四、曲面方程 262
第二节 重要题型的解题方法和技巧 266
题型一 求平面方程 266
题型二 求空间直线方程 268
第三节 思维定势及综合题解析 270
一、思维定势 270
二、综合题解析 270
习题九 271
第十章 多元函数微分学 274
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 274
一、二元函数的定义 274
二、二元函数的极限及连续性 275
三、偏导数、全导数及全微分 276
四、基本定理 277
五、多元函数的极值 279
六、条件极值与无条件极值 280
第二节 重要题型的解题方法和技巧 280
题型一 简单显函数u＝（x，y，z）的微分法 280
题型二 复合函数微分法 281
题型三 隐函数微分法 284
题型四 空间曲线在某点处的切线和法平面方程 287
题型五 空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程 288
题型六 求无条件极值 290
题型七 求条件极值 291
题型八 求最值 292
第三节 思维定势及综合题解析 294
一、思维定势 294
二、综合题解析 295
习题十 296
第十一章 重积分 299
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 299
一、基本概念 299
二、性质 299
三、公式 302
四、二重积分的解题技巧 303
五、三重积分的解题技巧 305
第二节 重要题型的解题方法和技巧 307
题型一 更换二重积分的积分次序 307
题型二 选择二重积分的积分次序 309
题型三 二重积分坐标系的选择 311
题型四 分段函数的二重积分的计算 312
题型五 二重积分等式的证明 315
题型六 二重积分不等式的证明 317
题型七 更换三重积分的积分次序 319
题型八 三重积分的计算 319
第三节 思维定势及综合题解析 321
一、思维定势 321
二、综合题解析 322
习题十一 323
第十二章 曲线、曲面积分及场论初步 328
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 328
一、曲线积分的概念和性质 328
二、曲线积分的基本定理 329
三、曲面积分的概念和性质 330
四、曲面积分的基本定理 331
五、场论初步 331
第二节 重要题型的解题方法和技巧 336
题型一 对弧长的曲线积分的计算 336
题型二 对坐标的曲线积分的计算 337
题型三 对面积的曲面积分的计算 342
题型四 对坐标的曲面积分的计算 343
题型五 曲面面积的计算 348
第三节 思维定势及综合题解析 349
一、思维定势 349
二、综合题解析 350
习题十二 351
第十三章 函数方程与不等式证明 353
第一节 函数方程 353
一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程 353
二、利用极限求解函数方程 354
三、利用导数的定义求解方程 355
四、利用变上限积分的可导性求解方程 355
五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解 356
六、利用解微分方程的方法求解f（x） 357
第二节 不等式的证明 360
一、引入参数法 360
二、利用微分中值定理 361
三、利用函数的单调增减性（重点） 363
四、利用函数的极值与最值 365
五、利用函数图形的凹凸性 367
六、利用泰勒展开式 367
七、杂例 369
习题十三 370
第二篇 线性代数 373
第一章 行列式 373
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 373
一、排列与逆序 373
二、n阶行列式的定义 374
三、行列式的基本性质 376
四、行列式按行（列）展开定理 378
五、重要公式与结论 380
第二节 重要题型的解题方法和技巧 381
题型一 抽象行列式的计算 381
题型二 低阶行列式的计算 381
题型三 n阶行列式的计算 383
第三节 思维定势与综合题解析 388
一、思维定势 388
二、综合题解析 389
习题一 390
第二章 矩阵 393
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 393
一、矩阵的概念 393
二、矩阵的运算 394
三、逆矩阵的概念 396
四、利用伴随矩阵求逆矩阵 397
五、矩阵的初等变换与求逆 398
六、分块矩阵及其求逆 399
七、矩阵的秩及其求法 399
第二节 重要题型的解题方法和技巧 399
题型一 求逆矩阵 399
题型二 求矩阵的高次幂Am 402
题型三 有关初等矩阵的命题 404
题型四 解矩阵方程 405
题型五 求矩阵的秩 407
题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明 409
题型七 关于方阵A可逆的证明 409
题型八 与A的伴随阵A有关联的命题的证明 410
题型九 关于矩阵秩的命题的证明 411
第三节 思维定势与综合题解析 413
一、思维定势 413
二、综合题解析 414
习题二 415
第三章 向量 421
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 421
一、向量的概念与运算 421
二、向量间的线性关系 421
三、向量组的秩和矩阵的秩 422
四、向量空间 423
五、重要定理与公式 425
六、小结 425
第二节 重要题型的解题方法和技巧 426
题型一 讨论向量组的线性相关性 426
题型二 有关向量组线性相关性命题的证明 430
题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示 436
题型四 有关向量组线性表示命题的证明 437
题型五 求向量组的极大线性无关组 438
题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明 440
题型七 与向量空间有关的命题 444
第三节 思维定势与综合题解析 446
一、思维定势 446
二、综合题解析 446
习题三 447
第四章 线性方程组 451
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 451
一、克莱姆法则 451
二、线性方程组的基本概念 451
三、线性方程组解的判定 452
四、非齐次线性方程组与其导出组的解的关系 453
五、线性方程组解的性质 453
六、线性方程组解的结构 453
第二节 重要题型的解题方法和技巧 454
题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 454
题型二 含有参数的线性方程组解的讨论 458
题型三 讨论两个方程组的公共解 464
题型四 有关基础解系的证明 465
第三节 思维定势与综合题解析 467
一、思维定势 467
二、综合题解析 467
习题四 472
第五章 特征值和特征向量 477
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 477
一、矩阵的特征值和特征向量的概念 477
二、相似矩阵及其性质 477
三、矩阵可相似对角化的充要条件 478
四、实对称矩阵及其性质 478
五、重要公式与结论 479
第二节 重要题型的解题方法和技巧 480
题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量 480
题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量 481
题型三 特征值与特征向量的逆问题 482
题型四 相似的判定及其逆问题 485
题型五 判断矩阵A是否可对角化 487
题型六 有关特征值与特征向量的证明题 490
第三节 思维定势与综合题解析 492
一、思维定势 492
二、综合题解析 492
习题五 498
第六章 二次型 501
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 501
一、二次型及其矩阵表示 501
二、化二次型为标准型 501
三、配方法和正交变换法 502
四、二次型和矩阵的正定性及其判别法 503
第二节 重要题型的解题方法和技巧 506
题型一 二次型所对应的矩阵及其性质 506
题型二 化二次型为标准形 507
题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 511
题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 513
第三节 思维定势与综合题解析 515
一、思维定势 515
二、综合题解析 516
习题六 517
第三篇 概率论与数理统计 519
第一章 随机事件和概率 519
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 519
一、随机试验和随机事件 519
二、事件的关系及其运算 520
三、事件的概率及其性质 522
四、条件概率与事件的独立性 523
五、重要概型 524
六、重要公式 524
第二节 重要题型的解题方法和技巧 525
题型一 古典概型与几何概型 525
题型二 事件的关系和概率性质的命题 529
题型三 条件概率与积事件概率的计算 531
题型四 全概率公式与贝叶斯公式的命题 532
题型五 有关伯努利概型的命题 534
第三节 思维定势与综合题解析 536
一、思维定势 536
二、综合题解析 537
习题一 538
第二章 随机变量及其分布 542
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 542
一、概念与公式一览表 542
二、重要的一维分布 546
三、重要的二维分布 548
第二节 重要题型的解题方法和技巧 549
题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题 549
题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数 552
题型三 求一维随机变量函数的分布 556
题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查 558
题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论 560
题型六 求两个随机变量的简单函数的分布 567
第三节 思维定势与综合题解析 572
一、思维定势 572
二、综合题解析 574
习题二 575
第三章 随机变量的数字特征 583
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 583
一、一维随机变量的数字特征 583
二、二维随机变量的数字特征 585
三、几种重要的数学期望与方差 586
四、重要公式与结论 587
第二节 重要题型的解题方法和技巧 587
题型一 求一维随机变量的数字特征 587
题型二 求一维随机变量函数的数学期望 592
题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征 594
题型四 有关数字特征的证明题 601
题型五 数字特征在经济中的应用 602
第三节 思维定势与综合题解析 605
一、思维定势 605
二、综合题解析 605
习题三 608
第四章 大数定律和中心极限定理 613
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 613
一、切比雪夫不等式 613
二、中心极限定理 613
三、重要公式与结论 614
四、注意 614
第二节 重要题型的解题方法和技巧 614
题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 614
题型二 有关中心极限定理的命题 616
习题四 619
第五章 数理统计的基本概念 620
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 620
一、几个基本概念 620
二、三个抽样分布——χ2分布、t分布与F分布 621
三、正态总体下常用统计量的性质 621
四、重要公式与结论 622
五、经验分布函数 622
第二节 重要题型的解题方法和技巧 623
题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量 623
题型二 求统计量的分布 624
第三节 思维定势 626
习题五 627
第六章 参数估计 629
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 629
一、矩估计与最大似然估计 629
二、估计量的评选标准 630
三、区间估计 631
四、重要公式与结论 633
第二节 重要题型的解题方法和技巧 633
题型一 求矩估计和最大似然估计 633
题型二 评价估计的优劣 638
题型三 区间估计或置信区间的命题 640
习题六 643
第七章 假设检验 646
第一节 重要概念、定理和公式的剖析 646
一、显著性检验的基本思想 646
二、假设检验的基本步骤 646
三、两类错误 646
四、正态总体未知参数的假设检验 647
五、假设检验与区间估计的联系 648
第二节 重要题型的解题方法和技巧 648
题型一 正态总体的均值和方差的假设检验 648
题型二 有关两类错误的命题 649
习题七 650