第○章 绪论 1
0.1泛函分析的研究对象和方法 2
0.2有限维空间的坐标分解和算子分解 3
0.3无穷维空间的类比和联想 6
0.4无穷维空间的坐标分解 7
0.5无穷维空间的线性算子与谱分解 10
第一章 距离空间 14
1.1距离空间的基本概念 15
1.1.1距离空间的定义 15
1.1.2距离空间的例 16
1.1.3距离空间中的收敛 19
1.2开集和连续映射 24
1.2.1开集、邻域 24
1.2.2连续映射 26
1.3闭集 可分性 列紧性 28
1.3.1距离空间中的闭集 28
1.3.2闭集的结构 29
1.3.3可分的距离空间 30
1.3.4列紧的距离空间 32
1.4完备的距离空间 34
1.4.1Cauchy列 34
1.4.2完备的距离空间 35
1.4.3完备与不完备距离空间的例 36
1.4.4距离空间的完备化 39
1.5完备距离空间的性质和一些应用 42
1.5.1闭球套定理 43
1.5.2压缩映射原理 44
1.5.3压缩映射原理的应用 47
习题一 51
第二章 赋范空间 56
2.1赋范空间的基本概念 57
2.1.1赋范空间和Banach空间的定义 57
2.1.2范数的连续性 58
2.1.3范数与距离的关系 59
2.2完备的赋范空间 60
2.2.1连续函数空间上定义的不同范数 60
2.2.2赋范空间的完备化 61
2.2.3Lp空间 62
2.2.4L∞空间 66
2.2.5lp空间 67
2.3赋范空间的几何结构 68
2.3.1凸集 68
2.3.2子空间 69
2.3.3Riesz引理 71
2.4有限维的赋范空间 72
2.4.1等价的范数 72
2.4.2有限维空间 74
2.4.3有限维赋范空间的几何特征 75
2.5赋范空间的进一步性质 76
2.5.1赋范空间中的级数 76
2.5.2赋范空间的商空间 78
2.5.3赋范空间的乘积空间 80
习题二 82
第三章 内积空间与Hilbert空间 87
3.1内积空间的基本性质 88
3.1.1内积空间的定义 88
3.1.2由内积生成的范数 89
3.1.3内积和相应范数的关系 91
3.1.4完备的内积空间 93
3.2正交与正交分解 95
3.2.1正交的定义 95
3.2.2正交补集 95
3.2.3最佳逼近 97
3.2.4Hilbert空间的正交分解 99
3.3正交系、正交投影和Fourier级数 100
3.3.1内积空间中的正交系 101
3.3.2最佳逼近和正交投影 102
3.3.3正交投影和Fourier级数 103
3.3.4Bessel不等式和Fourier级数的收敛性 105
3.4正交基和正交列的完备性 107
3.4.1正交基 107
3.4.2正交列的完备性 109
3.4.3标准正交基的例 111
3.5可分的Hilbert空间 112
3.5.1线性无关组的正交化算法 112
3.5.2可分的Hilbert空间与l2等距同构 115
习题三 116
第四章 有界线性算子 120
4.1有界线性算子与有界线性泛函 121
4.1.1有界线性算子与有界线性泛函的定义 121
4.1.2有界线性算子组成的赋范空间 123
4.1.3有界线性算子的例 125
4.1.4有界线性算子范数的计算 128
4.2有界线性算子空间的收敛与完备性 130
4.2.1有界线性算子空间中的收敛性 130
4.2.2有界线性算子空间的完备性 132
4.3一致有界原则 133
4.3.1Baire纲定理 134
4.3.2一致有界原则 135
4.3.3强收敛意义下的完备性 138
4.3.4共鸣定理的应用 139
4.4开映射定理与逆算子定理 141
4.4.1逆算子 141
4.4.2开映射定理 143
4.4.3逆算子定理 147
4.5闭算子与闭图像定理 148
4.5.1闭算子的定义 148
4.5.2闭算子的例 150
4.5.3闭图像定理 152
习题四 153
第五章 共轭空间和共轭算子 158
5.1Hahn-Banach定理 159
5.1.1Hahn-Banach定理 159
5.1.2Hahn-Banach定理的推论 162
5.1.3线性泛函和闭集分离 163
5.2共轭空间 164
5.2.1共轭空间的概念 165
5.2.2Lp[a，b]的共轭空间（1＜p＜∞） 165
5.3Hilbert空间的共轭空间共轭算子 169
5.3.1Riesz表示定理 169
5.3.2Hilbert空间的共轭空间 171
5.3.3Hilbert空间上的共轭算子 172
5.4自共轭的有界线性算子 174
5.4.1有界自共轭算子的定义和例 175
5.4.2自共轭算子的性质 176
5.4.3Cartesian分解 178
5.5Banach空间上的共轭算子弱收敛 179
5.5.1Banach空间上的共轭算子 179
5.5.2自反性 181
5.5.3弱收敛 182
5.5.4一些具体空间中的弱收敛 183
习题五 185
第六章 线性算子的谱理论 189
6.1谱集和正则点集 190
6.1.1从线性代数和微分方程中的特征值问题到线性算子的谱理论 190
6.1.2谱点和正则点的定义 192
6.1.3特征值和特征元素 193
6.1.4闭线性算子的正则点 195
6.2有界线性算子的谱集 195
6.2.1有界线性算子的谱集是有界集 196
6.2.2有界线性算子的谱集是闭集 197
6.2.3有界线性算子的谱集非空 198
6.2.4有界线性算子的谱半径 200
6.3有界自共轭线性算子的谱 202
6.3.1有界自共轭线性算子剩余谱集是空集 202
6.3.2有界自共轭线性算子谱集的性质 204
6.3.3有界自共轭线性算子谱的分布 205
6.4紧线性算子的谱 206
6.4.1紧线性算子的定义和例 206
6.4.2紧线性算子空间 208
6.4.3紧线性算子的特征值 210
6.4.4紧线性算子的剩余谱和连续谱 212
6.4.5Fredholm抉择定理 214
习题六 218
附录 224
附录Ⅰ 距离空间的紧性 224
附录Ⅱ 线性空间 224
附录Ⅲ Lp空间 224
附录Ⅳ 有界变差函数空间V[a，b] 224
参考文献 225