第1章 命题逻辑 1
1.1 命题和联结词 1
1.1.1 命题 1
1.1.2 命题联结词 2
1.1.3 命题表达式 5
1.1.4 真值表的构造 6
1.1.5 命题符号化 7
1.2 重言式 8
1.2.1 命题公式分类 8
1.2.2 重言式 9
1.2.3 逻辑等价 9
1.2.4 代入规则与替换规则 11
1.2.5 对偶原理 13
1.3 公式中的范式 14
1.3.1 析取范式和合取范式 14
1.3.2 主析取范式 16
1.3.3 主合取范式 20
1.4 命题联结词的扩充与归约 23
1.4.1 命题联结词的扩充 23
1.4.2 命题联结词的归约 24
1.5 基于命题的推理 25
1.5.1 基于真值表的推理 26
1.5.2 基于推理规则的推理 27
1.5.3 举例 27
1.6 习题 30
第2章 谓词逻辑 33
2.1 谓词公式 33
2.1.1 个体词 33
2.1.2 谓词 33
2.1.3 量词 34
2.1.4 命题符号化 34
2.1.5 谓词公式 35
2.2 约束 35
2.2.1 约束部分 36
2.2.2 换名规则和代替规则 36
2.2.3 公式的解释 37
2.3 谓词公式中的永真式 37
2.3.1 谓词公式的等价 37
2.3.2 谓词公式的类型 38
2.4 谓词公式中的范式 39
2.5 谓词推理 39
2.5.1 推理规则 39
2.5.2 举例 40
2.6 习题 41
第3章 集合论 43
3.1 基本概念 43
3.2 集合间的关系 45
3.3 集合的运算 47
3.3.1 集合的基本运算 47
3.3.2 集合的运算律 49
3.3.3 例题 51
3.4 包含排斥原理 52
3.5 幂集合与笛卡儿积 55
3.5.1 幂集合 55
3.5.2 笛卡儿积 56
3.6 集合运算与基数概念的扩展 58
3.6.1 并集、交集的扩展 58
3.6.2 基数概念的扩展 59
3.7 习题 60
第4章 二元关系 63
4.1 基本概念 63
4.1.1 二元关系的定义 63
4.1.2 关系的表示 65
4.2 关系的运算 65
4.2.1 关系的并、交、补、差、对称差运算 65
4.2.2 关系的复合运算 66
4.2.3 关系的逆运算 68
4.3 关系的性质 69
4.3.1 关系性质的概念 69
4.3.2 关系性质举例 70
4.3.3 关系性质在关系图及关系矩阵中的特征 71
4.4 关系的闭包 71
4.4.1 闭包的定义 71
4.4.2 关系R的闭包求法 72
4.4.3 传递闭包的Warshall算法 74
4.4.4 闭包的复合 75
4.5 集合的划分和覆盖 77
4.6 序关系 78
4.6.1 偏序关系与偏序集的概念 78
4.6.2 偏序集的哈斯图 79
4.6.3 偏序集中的特殊元 79
4.7 等价关系与等价类 81
4.8 函数 84
4.8.1 函数的概念 84
4.8.2 逆函数与复合函数 86
4.9 习题 88
第5章 图论 93
5.1 若干图论经典问题 93
5.2 图的基本概念及矩阵表示 96
5.2.1 图的基本概念 96
5.2.2 图的矩阵表示方法 100
5.3 路与连通度 102
5.4 欧拉图与哈密顿图 108
5.5 二部图与匹配 110
5.6 平面图 112
5.6.1 平面图及其性质 112
5.6.2 平面图着色 114
5.7 树 116
5.7.1 树及其性质 116
5.7.2 最小生成树 118
5.7.3 有向树 120
5.8 习题 124
第6章 初等数论 128
6.1 整数和除法 128
6.2 整数 128
6.3 素数 130
6.4 最大公约数和最小公倍数 133
6.4.1 最大公约数和最小公倍数的定义 133
6.4.2 最大公约数和最小公倍数的求法 133
6.5 同余 135
6.6 剩余系 136
6.6.1 完全剩余系 136
6.6.2 既约剩余系、欧拉函数和欧拉定理 137
6.7 欧拉函数的计算 139
6.8 一次同余方程 142
6.8.1 一次同余方程的概念 142
6.8.2 一次同余方程的解 142
6.9 剩余定理 144
6.9.1 一次同余方程组 144
6.9.2 剩余定理的计算机大整数加法 146
6.10 原根 147
6.10.1 原根的定义 147
6.10.2 具有原根的正整数的分布 151
6.11 指数的算术 161
6.12 原根在密码学中的应用 163
6.12.1 公钥密码学的背景知识 163
6.12.2 模重复平方计算方法 165
6.12.3 离散对数公钥加密方案 167
6.12.4 离散对数公钥签名方案 168
6.13 习题 170
第7章 代数系统 174
7.1 二元运算及其性质 174
7.1.1 二元运算的定义 174
7.1.2 二元运算的性质 175
7.2 代数系统 179
7.2.1 代数系统的定义与实例 179
7.2.2 代数系统的同构与同态 180
7.3 半群 184
7.3.1 半群 184
7.3.2 单位元和逆元 186
7.4 群 189
7.4.1 群的定义 189
7.4.2 群的同态 192
7.4.3 循环群 195
7.4.4 变换群 199
7.4.5 置换群 201
7.4.6 子群 205
7.4.7 子群的陪集 209
7.4.8 不变子群和商群 212
7.5 群在密码学中的应用 213
7.5.1 两个特殊的群Zn和Z＊n 213
7.5.2 Z＊n和欧拉定理 215
7.5.3 基于Z＊n的公钥密码系统RSA 216
7.6 环 217
7.6.1 环的定义 218
7.6.2 子环 220
7.6.3 理想子环 220
7.7 域 222
7.7.1 域的定义 222
7.7.2 子域 223
7.7.3 域的特征 223
7.7.4 域上的多项式环 224
7.7.5 域上多项式的带余除法 225
7.7.6 最高公因式和最低公倍式 227
7.7.7 不可约多项式 227
7.7.8 多项式的重因式 229
7.7.9 多项式的根 230
7.7.10 多项式环的理想与商环 230
7.8 环与域在编码纠错理论中的应用 236
7.8.1 通信系统的基本模型 236
7.8.2 编码理论的基本知识 237
7.8.3 线性分组码的编码与译码方案 245
7.8.4 线性分组码的译码效率 253
7.8.5 循环码的编码与译码方案 254
7.8.6 循环码的译码效率 263
7.9 习题 266
参考文献 271