第1章 行列式 1
1.1 行列式的计算方法 1
1.1.1 降阶法 1
1.1.2 加边法 4
1.1.3 递推法 5
1.1.4 利用已知行列式 7
1.1.5 数学归纳法 8
1.2 行列式的计算公式 9
1.3 代数余子式求和的理论与方法 18
1.4 例题 26
第2章 线性方程组 30
2.1 方程组的基本问题 30
2.1.1 方程组的求解 30
2.1.2 方程组解的性质与结构 35
2.2 线性方程组的公共解与同解的定义及理论 42
2.2.1 公共解问题 43
2.2.2 同解问题 44
2.2.3 应用 45
2.3 线性方程组理论的应用 51
2.4 线性相关（无关） 62
2.5 线性方程组的反问题 67
2.5.1 齐次线性方程组的反问题 67
2.5.2 非齐次线性方程组的反问题 68
第3章 矩阵 70
3.1 矩阵运算 70
3.1.1 矩阵乘法 70
3.1.2 方阵的幂 71
3.1.3 方阵的行列式 75
3.1.4 方阵的逆 75
3.1.5 初等变换与初等矩阵 85
3.2 矩阵的秩 86
3.2.1 矩阵秩的等式与不等式 86
3.2.2 矩阵秩的问题的处理方法 87
3.2.3 行（列）满秩矩阵 98
3.3 矩阵分解 101
3.3.1 利用等价标准形 101
3.3.2 利用合同标准形 104
3.3.3 利用相似标准形 109
3.3.4 其他 110
3.4 伴随矩阵 112
3.4.1 伴随矩阵定义及基本结论 112
3.4.2 伴随矩阵的性质 112
3.4.3 伴随矩阵的反问题 116
3.4.4 例题 119
第4章 多项式 121
4.1 带余除法 121
4.1.1 带余除法定理 121
4.1.2 带余除法定理的应用 121
4.2 整除 125
4.2.1 整除的定义及性质 125
4.2.2 整除的证明方法 126
4.2.3 例题 126
4.3 最大公因式 135
4.3.1 定义 135
4.3.2 最大公因式的性质 135
4.3.3 最大公因式的证明方法 136
4.3.4 例题 136
4.4 互素 138
4.4.1 定义 138
4.4.2 性质 138
4.4.3 互素的证明方法 139
4.4.4 例题 139
4.5 不可约多项式 141
4.5.1 定义 141
4.5.2 性质 141
4.5.3 证明方法 141
4.5.4 例题 141
4.6 Q上的不可约问题 144
4.6.1 基本问题 144
4.6.2 例题 145
4.7 重因式 154
4.7.1 定义 154
4.7.2 证明方法 155
4.7.3 例题 155
4.8 多项式函数与多项式的根 157
4.8.1 多项式根与系数的关系 157
4.8.2 有理根 159
4.8.3 例题 160
第5章 二次型 165
5.1 二次型的标准形与规范形 165
5.2 正定矩阵 178
5.3 同时合同对角化 189
5.4 实反对称阵 200
5.4.1 实反对称阵的性质 200
5.4.2 例题 201
第6章 线性空间 207
6.1 线性空间、子空间的判断及基与维数的求法 207
6.2 和与直和 223
6.2.1 维数公式 223
6.2.2 直和 223
第7章 线性变换 233
7.1 特殊的线性变换 233
7.1.1 与多项式有关的线性变换 233
7.1.2 幂等（对合）变换 236
7.1.3 幂零变换 241
7.2 线性映射 252
7.3 值域、核、不变子空间 254
7.4 线性变换与矩阵 264
7.5 特征值和特征向量 266
7.5.1 特征值和特征向量的定义、性质与求法 266
7.5.2 对角化 271
7.5.3 公共特征值与特征向量 275
第8章 λ—矩阵 286
8.1 三因子、标准形、特征多项式和特征值的关系 286
8.2 相似矩阵的判断 287
8.3 同时相似对角化 288
8.4 Jordan标准形及应用 294
8.4.1 Jordan块的变化规律 294
8.4.2 Jordan标准形的应用 297
第9章 欧氏空间 302
9.1 内积 302
9.2 正交变换与正交阵 304
9.3 正交补子空间 313
9.4 对称变换 316
参考文献 320